\chapter{Les circuits électriques}
\label{chap:circuits_electriques}

Les circuits électriques sont omniprésents dans la vie de tous les jours (quasiment tout fonctionne désormais avec la "fée électricité"\footnote{L'expression "La fée Électricité" provient d'une série de tableaux de Raoul Dufy peints en 1937, elle se compose de 250 panneaux commandés par la mairie de Paris. Ces tableaux montraient l'utilisation faite de l'électricité pour améliorer la vie des habitant·e·s et des travailleurs et travailleuses. Cette expression a été forgée depuis ces tableaux.} ), avant de sortir du collège vous avez au moins à comprendre comment ils fonctionnent car cela fait partie de votre environnement. Dans cet objectif il est indispensable de comprendre des schémas électriques simples, savoir les lire et pouvoir comparer cela à ce que vous voyez dans la vie réelle. Confronter un ensemble de câbles et de fils à un schéma, et surtout par dessus tout comprendre qu'il y a des règles de sécurité à respecter pour votre bien et celui des appareils.

\section{Les symboles électriques élémentaires}

Au collège vous avez vu les symboles électriques suivants (qui selon les besoins peuvent être dessinés horizontalement ou verticalement). Dans la jungle des composants électriques et électroniques il y a une famille de composants qui a été utilisée pour la quasi-totalité des circuits électriques qui ont été vus au cycle 4, ce sont les dipôles.

\begin{quote}
	\textbf{Un dipôle est un composant électrique ou électronique qui se branche par 2 extrémités.}
\end{quote}

\begin{figure}[H]
\label{symboles-elec1}
\includegraphics[scale=0.5]{symboles-elec-part1.png}
\caption{Quelques symboles électriques, partie 1}
\end{figure}

Voici quelques symboles électriques avant et après ce texte. Ici les points noirs représentent les extrémités des dipôles.

\begin{figure}[H]
\label{symboles-elec2}
\includegraphics[scale=0.5]{symboles-elec-part2.png}
\caption{Quelques symboles électriques, partie 2}
\end{figure}

Pourquoi utilise-t-on des symboles ? Tout simplement car pour communiquer simplement entre électricien·ne·s et ingénieur·e·s dans le monde entier on apprend les mêmes symboles et ainsi la langue n'est plus un obstacle.

Un dessin n'est pas un schéma ! L'image qui suit $ \downarrow $ montre à gauche un dessin de circuit électrique et à droite son schéma, vous aurez remarqué que dans le schéma il n'y a que des symboles électriques.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{dessin-vs-schema.png}
\caption{Dessin à gauche contre schéma à droite.}
\end{center}
\end{figure}

\section{Les circuits électriques en série et leurs propriétés qualitatives}

Les prochains paragraphes vont analyser ce qu'est un circuit en série et leurs propriétés lorsque des événements s'y déroulent. Dans les dessins et schémas qui suivent je prendrai quelques libertés avec les symboles afin de montrer visuellement des informations et leur état (allumé·e, éteint·e, fonctionnement normal, plus fort, plus faible ...)

\subsection{Le circuit en série}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{circuit-serie}
\includegraphics[scale=0.5]{circuit-serie-pile-K-lampe-moteur.png}
\caption{Un exemple de circuit en série avec 4 composants électriques}
\end{center}
\end{figure}

Un circuit électrique en série est un circuit qui forme une seule et unique boucle. Tous les composants sont des dipôles et ils sont branchés à la queue-leu-leu\footnote{La " queue-leu-leu " désignait auparavant un jeu issu du moyen âge où les gens se tiennent les uns aux autres formant une chaîne linéaire. Le " leu " est le terme du vieux Francois désignant le loup. Le plus connu des leus est Ysengrin le loup qui apparaît dans le roman de Renard roman du moyen-âge où le héros était un goupil (ancien nom d'un renard) appelé Renard.}. Le tout forme une chaîne de composants électriques.

\subsection{L'influence de la permutation d'un dipôle par un autre dans un circuit en série}

Voici une petite expérience où on remplace deux dipôles l'un par l'autre :

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-permut-c-serie.png}
%	\caption{}
\end{center}
\end{figure}	

Ce qui est observé c'est que d'inverser le moteur et la lampe ne change rien : la lampe brille tout autant et le moteur électrique tourne aussi vite, l'ampèremètre mesure la même intensité du courant électrique également ce qui confirme les observations de fonctionnement des deux dipôles.
	
\begin{quotation}
	\textbf{Dans un circuit en série la permutation de deux dipôles n'entraîne aucune modification du comportement des dipôles.}
\end{quotation}

\subsection{L'influence d'un dipôle qui grille dans un circuit en série}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-dipole-grille-c-serie.png}
\caption{Dipôle qui grille dans un circuit en série}
\end{center}
\end{figure}

Afin de procéder à une expérience similaire on va simuler une lampe grillée dans le même circuit, pour cela on la dévisse un peu jusqu'à ce qu'elle s'éteigne.

observation :

\begin{itemize}
	\item si le dipôle $L_1$ grille, tout s'arrête dans le circuit.
	\item si le dipôle $L_2$ grille, tout s'arrête dans le circuit aussi.
\end{itemize}

\begin{quotation}
	\textbf{Conclusion : si un dipôle grille dans un circuit en série, tous cessent de fonctionner.}
\end{quotation}

\subsection{L'influence d'un dipôle qui est mis en court-circuit dans un circuit en série}

Voici un schéma d'expériences, la situation du départ où tout fonctionne est l'expérience 1. On passe ensuite de 1 à 2 puis de 1 à 3.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-cc-c-serie.png}
%	\caption{}
\end{center}
\end{figure}

Dans l'expérience $\uparrow$ le circuit de l'expérience 1 \textit{(un conducteur ohmique qui irradie de la chaleur en fonctionnant, une lampe qui brille et un moteur qui tourne le tout branché en série aux bornes d'un générateur de tension et d'intensité continues)} on procède à deux expérience : 1er temps c'est le conducteur ohmique qui est court-circuité, 2nd temps c'est la lampe qui est mise en court-circuit.

observation :

\begin{itemize}
	\item si le dipôle 1 est mis en court-circuit, il s'arrête de fonctionner par contre les autres sont encore en train de fonctionner et fonctionnent un peu plus fort : le conducteur ohmique n'irradie plus, la lampe brille plus fort (plus de traits autour d'elle) et le moteur tourne plus vite (4 flèches courbées au lieu de 2).
	\item si le dipôle 2 est mis en court-circuit, il s'arrête de fonctionner par contre les autres sont encore en train de fonctionner et fonctionnent un peu plus fort : le conducteur ohmique passe de 6 à 10 flèches irradiantes il chauffe donc plus, la lampe est éteinte et le moteur est lui passé de 2 à 4 flèches courbes donc tourne plus vite.
\end{itemize}

\begin{quotation}
	\textbf{Conclusion : si un dipôle est en court-circuit dans un circuit en série, il cesse de fonctionner et les autres fonctionnent plus fort.} Attention cependant : si les autres dipôles fonctionnant encore reçoivent trop de courant électrique ( \textit{donc trop d'énergie électrique} ) alors ils vont griller !
\end{quotation}

\section{Les circuits électriques en dérivation et leurs propriétés}

\subsection{Le circuit en dérivation}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{circuit-derivation-noeuds-branches}
	\includegraphics[scale=0.5]{circuit-derivation-pile-lampe-moteur-boucles-noeuds.png}
\caption{Un circuit en dérivation élémentaire, ses deux n\oe{}uds et ses trois branches.}
\end{center}
\end{figure}

Vocabulaire :

\paragraph{n\oe{}ud}

Un n\oe{}ud est un point du circuit électrique où sont branchés au même endroit 3 fils ou plus. Dans le circuit de la figure \ref{circuit-derivation-noeuds-branches} les n\oe{}uds sont les points B et C car au point B il y a 3 fils qui sont branchés ensemble et dans le point C il y a aussi 3 fils électriques.

\paragraph{branches}

une branche est un morceau de circuit électrique compris entre 2 n\oe{}uds. Dans le circuit de la figure \ref{circuit-derivation-noeuds-branches} il y a la branche "verte" la branche "orange" et la branche "bleu cyan".

\subparagraph{branche principale} la branche principale est la branche d'un circuit en dérivation où il y a le générateur (au sens large). Dans le circuit de la figure \ref{circuit-derivation-noeuds-branches} c'est la branche verte.

\subparagraph{branche dérivée} la branche dérivée est une branche d'un circuit en dérivation où \underline{il n'y a pas} le générateur. Dans le circuit de la figure \ref{circuit-derivation-noeuds-branches} ce sont les branches orange et bleue cyan.

\subparagraph{boucle} Une boucle est l'union de 2 branches reliées ensemble. Dans le circuit de la figure \ref{circuit-derivation-noeuds-branches} on voit trois boucles la verte + orange, la verte + bleu cyan et l'organe + bleu cyan.

\subsection{L'influence de la permutation d'un dipôle par un autre dans un circuit en dérivation}

Voici une petite expérience où on remplace deux dipôles l'un par l'autre :

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{img-permut-c-deriv.png}
%	\caption{}
\end{center}
\end{figure}	

Ce qui est observé c'est que d'inverser le moteur et la lampe ne change rien : la lampe brille tout autant et le moteur électrique tourne aussi vite. Vous aurez aussi remarqué que l'intensité délivrée par le générateur est de 1,0 A dans les 2 expériences et que chaque dipôle a bien sa propre intensité qu'il soit près du générateur ou plus éloigné (à savoir 0,3 A pour la lampe et 0,7 A pour le moteur électrique)

\begin{quotation}
	\textbf{Dans un circuit en dérivation la permutation de deux dipôles n'entraîne aucune modification du comportement des dipôles.}
\end{quotation}

\subsection{L'influence d'un dipôle qui grille dans le circuit en dérivation}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-grille-c-deriv.png}
\caption{Dipôle qui grille dans un circuit en dérivation.}
\end{center}
\end{figure}

Ici vous aurez remarqué bien sûr que lorsqu'un dipôle grille il n'y a plus de courant électrique (donc une intensité nulle, c'est à dire 0 A) ce qui fait que je ne l'ai pas dessiné (et les flèches le représentant ont été retirées). Dans le cas d'un tel circuit vous voyez que chaque dipôle ayant sa propre intensité c'est le générateur qui va s'adapter à ce qui lui est branché dessus (et qui fonctionne).

\begin{quotation}
	\textbf{Si un dipôle grille dans un circuit en dérivation alors il s'arrête de fonctionner mais les autres continuent à fonctionner et fonctionnent un peu plus fort.}
\end{quotation}

\subsection{L'influence d'un dipôle qui est mis en court-circuit dans le circuit en dérivation}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-cc-c-deriv.png}
%	\caption{}
\end{center}
\end{figure}

On voit ici que le fait de mettre en court-circuit un dipôle revient à tous les mettre en court-circuit et à relier le " + " et le " -- " du générateur ce qui est dangereux car la pile fournit alors le maximum de courant qu'elle est capable de fournir ( voir le fonctionnement de la pile \ref{fonction-pile} ) ce qui est noté dans le schéma $I_{CC}$ et peut faire fondre les fils si c'est trop important (c'est pour cela que les fils où passe le courant électrique sont alors dessinés en rouge).

\begin{quotation}
	\textbf{Si un dipôle est court-circuité dans un circuit en dérivation alors tout dans ce circuit est mis en court-circuit y compris le générateur. ATTENTION CELA EST DANGEREUX.}
\end{quotation}

\section{Le courant électrique et son intensité}

Les prochains paragraphes traitent du courant électrique qui est l'une des grandes découvertes du XIXe siècle. Y sera aussi traitée l'intensité du courant électrique.

\subsection{Le courant électrique}
	
Dès qu'un circuit est fermé et que les dipôles semblent fonctionner cela signifie qu'un courant électrique a été établi dans le circuit électrique. L'information (le courant qui se met en marche) va très vite, de l'ordre de 175000 km/s. Le déplacement des particules quant à lui est de quelques centimètres par heure.

Le courant est formé de particules qui sont suivant le milieu :

\begin{itemize}
	\item des électrons dans les solides conducteurs (comme les métaux ou le carbone).
	\item des ions dans les solutions ioniques
\end{itemize}

Au cours du cycle 4 il est vu que le courant électrique a un sens de déplacement :

\begin{quotation}
	\textbf{Le courant électrique (conventionnel) va du pôle positif du générateur jusqu'au pôle négatif en traversant les dipôles\footnote{Dans cette définition le courant est conventionnel car il s'agit d'une convention, le sens de circulation du courant électrique ayant été posé bien avant la découverte des électrons.}. \\
	\\
	Le courant électrique réel est le déplacement des électrons qui vont du pôle négatif vers le pôle positif en traversant aussi tous les dipôles du circuit.}
\end{quotation}

\subsection{L'intensité du courant électrique} \label{intensite-courant-elec}

\underline{On peut pas mesurer le courant électrique}. Cependant on peut mesurer la quantité de charge électrique venant du courant électrique qui circule par seconde en un point donné du circuit, cela s'appelle \textbf{l'intensité du courant électrique}.

\begin{quotation}
	\textbf{L'intensité du courant électrique est le débit de courant électrique qui circule en un point du circuit. L'unité de l'intensité du courant est l'ampère (symbole d'ampère : A). On note par habitude l'intensité du courant électrique " I ".}
\end{quotation}

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-units-intensite}
\begin{tabular}{ | l | c | c | c | c | c | c | c | c | c | }
	unité & ${\quad}$ & ${\quad}$ & \ A\  & ${\quad}$ & ${\quad}$ & mA & ${\quad}$ & ${\quad}$ & \ensuremath{\mu}A \\
	\hline
	& & & & & & & & & \\
\end{tabular}
\caption{multiples et sous-multiples de l'ampère.}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-valeurs-conv-intensite}
\begin{tabular}{l | c c l}
	unité & symbole \linebreak de l'unité & puissance \linebreak de 10 & facteur de conversion \\ 
	\hline\hline
	kiloampère & kA & ${ {10}^{3} }$ & 1 kA = 1 000 A \\
	ampère & A & 1 & N/A \\
	milliampère & mA & ${ {10}^{-3} }$ & 1 A = 1 000 mA \\
	microampère & ${\mu}$A & ${ {10}^{-6} }$ & 1 A = 1 000 000 ${\mu}$A \\
\end{tabular}
\caption{Tableau des facteurs de conversion entre unités de l'intensité}
\end{center}
\end{table}

\paragraph{hors programme mais pour celles et ceux qui s'en sentent capables ...} L'intensité du courant électrique est le débit de la charge électrique "Q" circulant en un point du circuit par seconde, autrement dit ${ {I} = \dfrac{Q}{t} }$ avec "Q" en Coulomb (voir \ref{table-grandeurs-physiques} ) "t" en seconde et "I" en ampère.

\paragraph{Branchement de l'ampèremètre pour mesurer une intensité} Comme le montre l'image $ \downarrow $ on branche un ampèremètre en l'insérant \underline{dans} le circuit électrique. Si bien que l'ampèremètre est traversé par le même courant que les dipôles qui sont dans son prolongement. C'est une utilisation délicate : si trop de courant traverse l'ampèremètre car vous avez choisi un calibre trop faible alors l'appareil (du moins son fusible interne) est grillé, l'appareil devient inutilisable jusqu'à remplacement du dit fusible.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{branchement-amperemetre}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-mesure-intensite.png}
\caption{Méthode de branchement d'un ampèremètre}
\end{center}
\end{figure}

Comment faire pour choisir le bon calibre ? Assez facile en fait : commencez toujours par le plus gros calibre \emph{(si l'appareil grille avec le plus gros calibre il aurait grillé avec tous les autres)} lisez l'indication. Convertissez dans l'unité des calibres plus faibles (celle du calibre suivant suffit) et regardez si vous pouvez l'utiliser. La règle est simple : \textbf{un calibre est toujours supérieur à la valeur lue.} car un calibre représente le maximum que va pouvoir lire l'appareil. Au passage, si le calibre n'est plus dans la même unité (typiquement A $\leftrightarrow$ mA) alors il faudra changer de borne de connexion entre A et mA.

\begin{quote}
	\textit{Les appareils modernes n'ont plus cette notion de calibre, il suffit de brancher et c'est l'appareil qui choisi le calibre le plus adapté pour afficher la mesure la plus précise. Notez cependant que ces appareils ultramodernes sont un peu plus perturbants pour le circuit, un vieil appareil analogique est parfois plus précis !}
\end{quote}

\subsection{La loi d'unicité du courant électrique}

Comment fonctionne l'intensité du courant électrique dans un circuit en série ? C'est par la prochaine expérience qu'on pourra la savoir, et pour cela on commence par construire le circuit suivant :

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{exp-intensite-circuit-serie}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-intensite-circuit-serie.png}
\caption{Montage d'intensité dans un circuit en série.}
\end{center}
\end{figure}
	
En regardant les résultats :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-intensite-circuit-serie}
\begin{tabular}{l | c c c l}
	Intensité & $I_1$ & $I_2$ & $I_3$ & Position de K \\
	\hline
	valeur mesurée & 0,343 A & 0,343 A & 0,343 A & K fermé \\
	\hline
	valeur mesurée & 0 A & 0 A & 0 A & K ouvert \\
\end{tabular}
\caption{Mesures d'intensité dans un circuit en série.}
\end{center}
\end{table}

Observation : L'intensité $I_1$, $I_2$ et $I_3$ sont identiques.

Interprétation : Le courant électrique n'a qu'un seul chemin à traverser, il n'a pas le choix, chaque dipôle laisse donc passer le courant électrique sans le modifier car les valeurs sont pareilles aux différents points de mesure.

\begin{quotation}	\label{loi-unicite-courant}
	\textbf{Conclusion : \underline{Loi d'unicité du courant électrique.} \\
	Dans un circuit électrique l'intensité du courant électrique est la même partout.}\footnote{Heureusement que cette loi existe, car l'ampèremètre est branché en série dans le circuit, autrement dit il est traversé par le même courant que les dipôles qui sont sur la même branche que lui ! Si ce n'était pas le cas alors l'ampèremètre ne pourrait pas mesurer l'intensité du courant électrique du dipôle près de lui.}
\end{quotation}

\subsection{La loi des n\oe{}uds ou loi d'addition des courants électriques} \label{Loi-noeuds}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{exp-intensite-circuit-derivation}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-intensite-circuit-derivation.png}
\caption{Montage pour l'étude de la loi des n\oe{}uds.}
\end{center}
\end{figure}

En regardant les résultats :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-intensite-circuit-derivation}
\begin{tabular}{l | c c c l}
	Intensité & $I_1$ & $I_2$ & $I_3$ & Position de K \\
	\hline
	valeur mesurée & 0,570 A & 0,310 A & 0,260 A & K fermé \\
	\hline
	valeur mesurée & 0 A & 0 A & 0 A & K ouvert \\
\end{tabular}
\caption{Mesures d'intensité dans un circuit en série.}
\end{center}
\end{table}

Posons un peu de vocabulaire désormais :
	
\begin{itemize}
	\item \textbf{Un n\oe{}ud} est un point du circuit où se croisent au moins 3 fils, ici les points B et C sont les deux n\oe{}uds du circuit.
	\item \textbf{Une branche principale} est une portion de circuit contenant le générateur et comprise entre deux n\oe{}uds.
	\item \textbf{Une branche dérivée} est une portion de circuit \underline{ne contenant pas} le générateur et comprise entre deux n\oe{}uds.
	\item \textbf{Un courant entrant} est un courant électrique qui entre dans un n\oe{}ud.
	\item \textbf{Un courant sortant} est un courant électrique qui sort d'un n\oe{}ud.
\end{itemize}

Avec ce nouveau vocabulaire regardons plus en détail les différents courants d'intensité ${I_1}$, ${I_2}$ et ${I_3}$ au voisinage du n\oe{}ud "B" :

\begin{itemize}
	\item ${I_1}$ est l'intensité du courant électrique \textit{dans la branche principale} et c'est un \textit{courant entrant} du n\oe{}ud B.
	\item ${I_2}$ est l'intensité du courant électrique \textit{dans une des branches dérivées} et c'est un \textit{courant sortant} du n\oe{}ud B.
	\item ${I_3}$ est l'intensité du courant électrique \textit{dans une des branches dérivées} et c'est un \textit{courant sortant} du n\oe{}ud B.
\end{itemize}

En ajoutant les deux courants entrants on obtient ${I_2} + {I_3} = {0,310} + {0,260} = {0,570}$ or ... ${0,750 = I_1}$ ! \textbf{En conclusion on retrouve que : } ${I_1 = I_2 + I_3}$, autrement dit l'intensité qui rentre dans le n\oe{}ud B à savoir ${I_1}$ vaut l'addition des courants électriques qui sortent du n\oe{}ud ${I_2 + I_3}$. C'est la manifestation dans ce circuit de la loi \textbf{\underline{loi des n\oe{}uds}} ou loi d'addition des courants électriques :

\begin{quotation}
	\textbf{Dans un n\oe{}ud l'addition des intensités des courants électriques entrant dans un n\oe{}ud est égale à l'addition des intensités des courants électriques sortant du n\oe{}ud.}
\end{quotation}

Vous aurez remarqué qu'il s'agit (encore) d'une loi de conservation --- mais cette fois ci c'est l'intensité du courant électrique qui est conservée au passage à travers un n\oe{}ud.

\section{La tension électrique} \label{tension_electrique}

La tension électrique est une grandeur physique qui donne la différence d'état électrique entre 2 endroits d'un circuit électrique. La tension électrique est notée "U". La tension électrique entre le point X du circuit et le point Y du circuit est notée ${ {U}_{XY} }$. L'unité de la tension électrique est le volt\footnote{Le volt est l'unité donnée en l'honneur du savant italien Alessandro Volta, créateur en 1800 de la première pile électrique au monde dite pile Voltaïque.} (symbole : V). La tension électrique est mesurée à l'aide d'un voltmètre branché en dérivation sur les points de mesure du circuit.

Voici un tableau d'unités :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{unites-tension-elec}
\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c | c | c }
	... & kV & $ \quad $ & $ \quad $ & V & $ \quad $ & $ \quad $ & m V & ... \\
	\hline
	$ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $ & $ \quad $\\
\end{tabular}
\caption{Tableau de quelques unités de tension électrique.}
\end{center}
\end{table}

Voici comment brancher le voltmètre dans le circuit pour mesurer la tension entre les points B et C de ce circuit.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{exp-mesure-U}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-mesure-tension-voltmetre.png}
\caption{Comment brancher un voltmètre.}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Une propriété de la tension électrique intéressante :} ${ {U}_{PN} = -\ {U}_{NP} }$.

\textit{Note : Aux cycles 3 et 4 la tension sera toujours positive (donc elle peut être aussi nulle), par contre aux cycles suivants les tensions peuvent être aussi négatives.}

\subsection{Hors programme : Le potentiel électrique.} \label{potentiel_electrique}

C'est une grandeur physique qui donne l'état électrique d'un point de l'espace, le potentiel électrique est noté "V". L'unité du potentiel électrique est le volt ( symbole : \textit{V} ). C'est en mesurant la différence de potentiel électrique entre deux points de l'espace qu'on mesure la tension électrique du paragraphe \ref{tension_electrique}.
	
Grâce à la notion de potentiel électrique on peut redéfinir facilement la tension électrique de la sorte : ${ {U}_{XY} = {V}_{X} - {V}_{Y} }$. \textbf{Par convention dans les circuits électriques le pôle négatif, de la masse ou de la terre a une valeur de potentiel électrique nulle.}

\subsection{La tension électrique pour deux dipôles en dérivation (ou plus)} \label{loi_egalite_tensions}

Voici un circuit électrique simple composé d'un générateur de 6 Volts branché en dérivation à une lampe fonctionnant normalement avec 5,5 Volts elle même en dérivation avec un conducteur ohmique de résistance R qui vaut 220 \ensuremath{{\Omega}}
		
\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{•}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-tensions-c-deriv.png}
\caption{Tensions dans un circuit en dérivation illustrant la loi d'égalité des tensions.}
\end{center}
\end{figure}	

Pour des raisons qui seront vue au paragraphe suivant ( \ref{loi_addition_tensions} ) on verra pourquoi nous allons éliminer la mesure de la tension des fils électriques. Concentrons nous donc sur les mesures des tensions des dipôles (si les appareils sont branchés car si les appareils ne sont pas branchés c'est assez simple : tout vaut 0 Volt).

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-mes-tensions-circuit-derivation}
\begin{tabular}{ | c | c | c | c | }
	tension électrique & ${{U}_{PN}}$ & ${{U}_{BE}}$ & ${{U}_{CD}}$\\
	\hline
	valeur mesurée & 6 V & 6 V & 6 V \\
\end{tabular}
\caption{Exemple de mesures de tensions électriques dans un circuit électrique en dérivation.}
\end{center}
\end{table}

Que voyons-nous dans ces mesures ?

Les trois dipôles (générateur, lampe, conducteur ohmique) sont branchés en dérivation les uns des autres, quant à leurs valeurs elles sont égales. C'est la manifestation dans ce circuit de la loi d'égalité des tensions électriques :

\begin{quotation}
	\textbf{Loi d'égalité des tensions : Lorsque deux dipôles sont en dérivation alors la tension électrique à leurs bornes est identique.}\footnote{Heureusement que cette loi existe ! En effet le voltmètre est branché en dérivation du dipôle dont la tension est mesurée, si cette loi était fausse alors le voltmètre ne donnerait pas la même valeur que la tension mesurée !}
\end{quotation}
	
\subsection{La tension électrique dans un circuit en série} \label{loi_addition_tensions}
	
Voici un circuit électrique en série assez simple, il se compose d'un générateur de tension continue à 6 Volts, d'un interrupteur, d'une lampe fonctionnant en 3,5 Volts, d'un conducteur ohmique et de fils électriques. Ils sont reliés de la façon décrite dans le schéma qui suit :
	
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\label{exp-tension-c-serie}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-tension-elec-c-serie.png}
\caption{Circuit en série ouvert et fermé avec tensions électriques}
\end{center}
\end{figure}

Regardez les deux circuits électriques ${\uparrow}$, c'est le même circuit en série à une différence près : à gauche il est ouvert et à droite il est fermé. Regardez les différences entre les tensions entre le circuit de gauche et le circuit de droite, regardez aussi les points communs.

Voici des résultats obtenus pendant une expérience en classe avec un groupe d'élèves de 4e :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{tab-mes-tension-circuit-serie}
\begin{tabular}{ | c || c || c | c | c | c | c | c | c |}
	Tension électrique & ${{U}_{PN}}$ & ${{U}_{PB}}$ & ${{U}_{BC}}$ & ${{U}_{CD}}$ & ${{U}_{DE}}$ & ${{U}_{EF}}$ & ${{U}_{FG}}$ & ${{U}_{GN}}$ \\
	\hline
	En circuit ouvert & 6 V & 0 V & 6 V & 0 V & 0 V & 0 V & 0 V & 0 V\\
	\hline
	En circuit fermé & 6 V & 0 V & 0 V & 0 V & 3,5 V & 0 V & 2,5 V & 0 V\\
\end{tabular}
\caption{Des mesures de tension électrique continue dans un circuit en série.}
\end{center}
\end{table}

Quels enseignements tirer ?

\paragraph{1 : La tension d'un fil électrique} Si vous regardez attentivement les tensions ${{U}_{PB}}$, ${{U}_{CD}}$, ${{U}_{EF}}$ et ${{U}_{GN}}$ (à savoir les fils électriques) en circuit ouvert et fermé, leur tension est toujours nulle (égale à 0 V). C'est une des propriétés des " petits " fils électriques (moins de 5 mètres en gros).

\begin{quotation}
	\textbf{Un fil électrique parcouru ou non par du courant et une tension électriques n'a pas de tension électrique à ses extrémités (ou bornes).}
\end{quotation}

\paragraph{2 : La tension d'un interrupteur} L'interrupteur est un cas intéressant car en circuit ouvert (rien ne fonctionne) il a une tension électrique (qui est ici égale à celle du générateur) mais en circuit fermé sa tension est nulle (ce qui est logique car un interrupteur fermé est un petit morceau de ... fil électrique !)

\begin{quotation}
	\textbf{Un interrupteur a une tension nulle à ses bornes s'il est fermé et une tension non nulle à ses bornes s'il est ouvert.}
\end{quotation}

\paragraph{3 : la loi d'addition des tensions}

Que voit-on dans ce circuit électrique ? Pour analyser les résultats je vais séparer les tensions en 2 groupes : celle du générateur dans un groupe car le générateur est un dipôle actif, et toutes les autres tensions électriques dans un autre groupe car ce sont des dipôles passifs.

\begin{itemize}
	\item Lorsque le circuit électrique est \underline{ouvert} : La tension du générateur ${{U}_{PN}}$ vaut 6 V, l'addition de toutes les autres tensions vaut 6 V (${0 + 6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 6}$).
	\item Lorsque le circuit électrique est \underline{fermé} : La tension du générateur ${{U}_{PN}}$ vaut 6 V, l'addition des autres tensions vaut 6V (${0 + 6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 6}$) aussi.
\end{itemize}

En conclusion, la tension du générateur vaut l'addition des autres tensions que le circuit soit ouvert ou fermé, c'est la manifestation dans ce circuit de la loi d'addition des tensions \textit{ou loi d'additivité des tensions} dans un circuit électrique :

\begin{quotation}
	\textbf{Loi d'addition des tensions : dans un circuit électrique la tension électrique du générateur est égale à l'addition des tensions des dipôles en parcourant le circuit du pôle positif au pôle négatif.}
\end{quotation}

\subsection{Adapter un dipôle : tension et intensité de fonctionnement}	

Chaque dipôle est fabriqué en usine pour correspondre à des conditions de fonctionnement précise, à savoir une intensité et une tension précises pour une puissance de fonctionnement également précise.

\section{Les conducteurs ohmiques} \label{conducteur_ohmique}

Les conducteurs ohmiques sont des conducteurs obéissant à la loi d'ohm. Ce sont des dipôles de forme cylindrique. Sur le corps du cylindre sont dessinés 4 ou 5 anneaux qui sont un code permettant d'avoir des informations sur ce conducteur ohmique et qui s'appelle le code des couleurs.

\subsection{Résistance d'un conducteur ohmique}

Chaque conducteur ohmique possède une résistance qui freine le passage du courant. \textbf{La résistance d'un conducteur ohmique, notée "R" est une grandeur physique qui se mesure avec un ohmmètre, l'unité de la résistance est le ohm dont le symbole est \ensuremath{\Omega}}.

Il existe bien évidemment plusieurs unités multiples du \ensuremath{\Omega} :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{units-ohm}
\begin{tabular}{l | r r}
Unité & Symbole & Facteur de conversion \\
\hline\hline
Mégohm & M\ensuremath{\Omega} & 1 M\ensuremath{\Omega} = $10^6$ \ensuremath{\Omega} \\
\hline
kilohm & k\ensuremath{\Omega} & 1 k\ensuremath{\Omega} = $10^3$ \ensuremath{\Omega} \\
\hline
ohm & \ensuremath{\Omega} & 1 \ensuremath{\Omega} = 1 \ensuremath{\Omega}\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Multiples de l'unité ohm \ensuremath{\Omega}}
\end{center}
\end{table}
	
\paragraph{Mesurer une résistance} \label{mesure-resistance}

Pour mesurer la résistance d'un conducteur ohmique on utilise un ohmmètre qui est relié par ses bornes \ensuremath{\Omega} et \textit{COM} directement sur les bornes du conducteur ohmique seul (il ne doit pas être relié au circuit sinon la mesure est faussée).

\begin{figure}[H]
\begin{center}
%	\label{•}
\includegraphics[scale=0.5]{exp-mesure-resistance-ohmmetre.png}
\caption{Mesure directe d'une résistance de conducteur ohmique.}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Le code des couleurs}
\label{code-couleurs}

	Le code des couleurs est un moyen rapide, quand il est connu, de repérer un conducteur ohmique avec la valeur de la résistance souhaitée. Ce n'est pas la valeur exacte de la résistance, celle ci s'obtient comme au paragraphe précédent  \ref{mesure-resistance} mais cela donne, au milieu d'une boite où tout est mélangé, un avantage pour choisir LE conducteur ohmique avec LA bonne résistance.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{code-couleur-sens-couleurs}
\begin{tabular}{l | c c c c c}
	\hline
	chiffre & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
	\hline
	couleur & noir & marron & rouge & orange & jaune \\
	\hline\hline
	chiffre & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
	\hline
	couleur & vert & bleu & violet & gris & blanc \\
	\hline
\end{tabular}
\caption{code des couleurs, signification des couleurs}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{code-couleur-sens-anneaux}
\begin{tabular}{| m{6em} | m{6em} | m{6em} | m{6em} | m{6em} |}
	\hline
	Position de l'anneau & 1re position & 2e position & 3e position & 4e position \\
	\hline
	Signification & chiffre de dizaine & chiffre d'unité & puissance de 10 & \% d'erreur \\
	\hline
\end{tabular}
\caption{code des couleurs, signification des anneaux}
\end{center}
\end{table}

Exemple : Imaginez une résistance \ensuremath{{R}_{1}} = --[ Marron, Noir, Rouge, Doré ]--	 Quelle est sa résistance théorique ? Avec le code des couleurs elle a pouvoir être calculée :

\begin{table}[H]
\begin{center}
\label{calcul-code-couleurs}
	\begin{tabular}{l | c c c c}
	Anneau & Marron (1er) & Noir (2e) & Rouge (3e) & Doré (4e) \\
	\hline
	Chiffres & 1 & 0 & 2 & \ensuremath{\pm} 5 \% \\
	Calculs & 1 & 0 & ${ \times {10}^{2}}$ & \ensuremath{\pm} 5 \% \\
			& 1 & 0 & 00 & \ensuremath{\pm} 5 \% \\
\end{tabular}
\caption{Un exemple de calcul de résistance par le code des couleurs 1000 \ensuremath{\Omega}}
\end{center}
\end{table}

donc la valeur de la résistance est \ensuremath{{R}_{1}} = 1 0 00 \ensuremath{ \Omega \space \space \pm} 5 \%.

\subsection{Loi d'ohm pour un conducteur ohmique} \label{loi-ohm-conducteur-ohmique}

La loi d'ohm pour un conducteur ohmique est la loi qui relie ensemble les trois grandeurs que sont la tension électrique U (qui doit être en volt), l'intensité du courant électrique I (qui doit être en ampère) et la résistance d'un conducteur ohmique (qui doit être en ohm). Cette relation est très simple et vaut :

\begin{equation}
	{U}_{\ en\ V} = {R}_{\ en\ \Omega} \times {I}_{\ en\ A}
\end{equation}

En prenant une série de mesures :

\begin{table}[H]
\label{table-loi-ohms-12-ohms}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
intensité (A) & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1 \\	
\hline
tension (V) & 0 & 1,2 & 2,4 & 3,6 & 4,8 & 6 & 7,2 & 8,4 & 9,6 & 10,8 & 12 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Résultats expérimentaux Loi d'ohm pour un conducteur ohmique ${R =  12 \Omega }$.}
\end{table}

On obtiendra le graphique suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    title={Loi d'ohm pour un conducteur ohmique de 12 \ \ensuremath{\Omega}},
    xlabel={Intensité électrique [A]},
    ylabel={Tension électrique [V]},
    xmin=0, xmax=1,
    ymin=0, ymax=12,
    xtick={0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1},
    ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},
%    legend pos=north west,
	xmajorgrids=true,
    ymajorgrids=true,
    grid style=dashed,
] 
\addplot[
    color=blue,
    mark=square,
    ]
    coordinates {
    (0,0)(0.1,1.2)(0.2,2.4)(0.3,3.6)(0.4,4.8)(0.5,6)(0.6,7.2)(0.7,8.4)(0.8,9.6)(0.9,10.8)(1,12)
    };
%    \legend{} 
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Vous aurez bien sûr remarqué que cela forme une droite passant par l'origine du plan -- croisement en (0;0) -- ce qui en classe de 4e a été interprété comme une situation de proportionnalité et en 3e aura été assimilé à une représentation graphique de fonction linéaire.

La proportionnalité de U et de I se retrouve aussi en ajoutant une 3e ligne au tableau des mesures, ligne contenant le rapport de U par I c'est à dire ${ \dfrac{U}{I} }$ :

\begin{table}[H]
\label{table-loi-ohm-resistane-mesures}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
intensité (A) & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1 \\	
\hline
tension (V) & 0 & 1,2 & 2,4 & 3,6 & 4,8 & 6 & 7,2 & 8,4 & 9,6 & 10,8 & 12 \\
\hline
${ \dfrac{U}{I} }$ & impossible & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Mesures expérimentales loi d'ohm pour un conducteur ohmique}
\end{table}

Cette dernière ligne est utile pour 2 choses, la première est de voir que la fraction ${ \dfrac{0}{0} }$ n'existe pas et en effet \textbf{il est impossible de diviser par zéro} dans les nombres réels. Effectuez ce calcul sur votre calculatrice et observez ce qu'elle affiche ce sera sans doute un \texttt{Math Error} qui indique donc une erreur mathématique. La seconde chose qui sera vu est que les autres rapports (hormis pour 0) sont tous égaux, ce qui corrobore bien la proportionnalité entre U et I.

\section*{Hors Programme : Le fonctionnement d'une pile} \label{fonction-pile}

Une pile (ou générateur électrochimique) fonctionne comme cela est vu plus loin (ajouter le lien) comme un transformateur d'énergie transformant l'énergie libérée lors d'une transformation chimique à l'intérieur en énergie électrique. Cependant (et dans le cas "parfait") il existe un lien entre la tension électrique aux bornes de la pile " $U$ ", l'intensité du courant électrique qu'elle envoie " $I$ " et sa petite résistance interne (car oui l'intérieur d'une pile se comporte comme un petit conducteur ohmique) notée " $r$ ", on appellera $U_0$ la tension maximale de cette pile (lorsque rien n'est branché dessus sauf le voltmètre pour faire la mesure).

Cette relation est du style $U = U_0 - ( r \times I )$. Votre oeil exercé d'élève de fin de 3e aura sans doute reconnu l'expression mathématique d'une fonction affine type $f(x) = A + B \times x$.

On voit alors qu'il est possible d'atteindre une valeur maximale de l'intensité du courant électrique où la tension est nulle ( c'est le point de croisement entre le segment de droite bleu et l'axe horizontal correspondant à une tension nulle U = 0 V ), ce point de croisement d'intensité maximale correspond alors à la résolution de cette équation :

\begin{equation}
	\begin{split}
	U = 0\ V &= U_0 - r \times I_{CC} \\
	0 &= U_0 - r \times I_{CC} \\
	- U_0 &= - r \times I_{CC} \\
	U_0 &= r \times I_{CC} \\
	\dfrac{U_0}{r} &= I_{CC}
	\end{split}
\end{equation}

C'est à dire à une valeur $\boxed{ I_{CC} = \dfrac{U_0}{r} }$. \\ Voici le graphique obtenu avec $U_0$ = 4,5 V et r = 1,2 $\Omega$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	title={Tension d'une pile "parfaite"},
    axis lines = left,
    xlabel = {I en Ampère},
    ylabel = {U en Volt},
    xmin=0, xmax=6,
    ymin=0, ymax=5,
    xtick={0,1,2,3,4,5,6},
    ytick={0,1,2,3,4,5},
]
\addplot [
    color=blue,
    mark=square,
    ]
	coordinates {
	(0,4.5)(1,3)(2,1.5)(3,0)
	};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Hors programme : Calculer un point de fonctionnement par la loi de Pouillet} \label{loi-pouillet}

Si vous vous sentez d'attaque allons plus loin, il est possible, si on connaît parfaitement chaque dipôle utilisé dans un dispositif de calculer à l'avance le point de fonctionnement d'un circuit simple composé d'un générateur linéaire et d'un conducteur ohmique ou d'un dipôle se comportant de la sorte, c'est à dire l'intensité du courant qu'on devrait y trouver (en théorie). Pour cela une loi très simple qui s'étudiait au collège en 3e il y a une trentaine d'années : La loi de Pouillet.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	title={Détermination intensité de fonctionnement},
    axis lines = left,
    xlabel = {I en Ampère},
    ylabel = {U en Volt},
    xmin=0, xmax=10,
    ymin=0, ymax=5,
    xtick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
    ytick={0,1,2,3,4,5},
]
\addplot [
    color=blue,
    mark=square,
    ]
	coordinates {
	(0,4.5)(1,3)(2,1.5)(3,0)
	};
	\addlegendentry{Tension du générateur}
\addplot [
	color=red,
	mark=square,
	]
	coordinates {
	(0,0)(0.25,1)(0.5,2)(0.75,3)(1,4)(1.25,5)
	};
	\addlegendentry{Tension Résistance 4 \ensuremath{\Omega} }
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par le calcul il suffit de poser que la tension aux bornes du conducteur ohmique vaut celle aux bornes du générateur, R est la résistance du conducteur ohmique, $I_F$ l'intensité au point de fonctionnement, r la résistance interne du générateur, $U_0$ la tension maximale du générateur :

\begin{equation*}
	\begin{split}
	R \times I_F =& U = U_0 - r \times I_F \\
	R \times I_F + r \times I_F =& U_0 \\
	( R + r ) \times I_F =& U_0 \\
	I_F =& \dfrac{U_0}{(R + r)}
	\end{split}
\end{equation*}

Appliquons avec les valeurs suivantes :

\begin{itemize}
	\item $U_0$ = 4,5 V
	\item r = 1,5 $\Omega$
	\item R = 4 $\Omega$
\end{itemize}

\begin{equation*}
	\begin{split}
	I_F =& \dfrac{U_0}{(R + r)} \\
	I_F =& \dfrac{4,5}{4 + 1,5} = {0,81818181818...}
	\end{split}
\end{equation*}

On trouve que le point de fonctionnement sera pour une intensité $I_F \approx 0,818 $ A.

\subsection*{Hors programme : Association en série de 2 conducteurs ohmiques}

Cette situation n'est pas étudiée en cours dans le cycle 4 mais apparaît parfois au détour d'un exercice et de façon détournée. Si je prends un peu de place ici pour vous la montrer c'est aussi pour vous dire que les théorèmes, les lois et les propriétés vues dans d'autres sous-parties des cours peuvent aider à montrer de nouvelles propriétés, et que c'est \textit{aussi} quelque chose qu'on vous demandera par la suite.

Autre raison de sa présence : dans la vie réelle, un·e électronicien·ne aura besoin parfois d'associer en série des composants électroniques car dans ce qui est à disposition rien ne convient tel quel !

Dans cette section je vous propose de démontrer que vaut la valeurs d'un conducteur ohmique global formé de deux conducteurs ohmiques associés en série (par exemple : un conducteur $R_1 = 1000 \Omega$ et un conducteur ohmique $R_2 = 457 \Omega$ équivaut à une résistance globale équivalente appelée " $R_S$ " de combien ?

\begin{figure}[H]
\begin{center}
	\label{deux_c_ohm_serie}
	\includegraphics[scale=0.5]{association-serie-resistance.png}
	\caption{Association de $R_1$ et $R_2$ donnant une résistance équivalent $R_S$.}
\end{center}
\end{figure}

D'abord vérifions quelles sont les notions et les données nécessaires à la résolution de ce problème. Les dipôles étant associés en série, cela va se comporter comme un morceau de circuit en série, et bien sûr ce sont des conducteurs ohmiques dont la loi d'ohm risque d'être très utile aussi.

\begin{enumerate}
	\item Loi d'unicité du courant électrique dans un circuit en série : l'intensité \textit{I} est toujours la même du début à la fin ${ I_1  = I_2 = I_3 = ... }$.
	\item Loi d'additivité des tensions électriques dans un circuit en série : la tension globale est l'addition des tensions individuelles ${ U_{AB} + U_{BC} = U_{AC} }$
	\item La loi d'ohm : ${U = R \times I}$
\end{enumerate}

Procédons à la démonstration puis au résultat final : nous avons déjà cela :

\begin{center}
\begin{equation*}
	\begin{split}
	U_{BD} & = R_S \times I \quad mais\ aussi\ : \\
	U_{BD} & = U_{BC} + U_{CD} \\
	or\ pour\ & chaque\ tension\ U_{BC}\ et\ U_{CD} \\
	U_{BC} & = R_1 \times I \quad et\ \\
	U_{CD} & = R_2 \times I 
	\end{split}
\end{equation*}
\end{center}

On peut donc réécrire $U_{BD} = U_{BC} + U_{CD}$ de la manière suivante :

\begin{center}
\begin{equation*}
	\begin{split}
	U_{BD} &= U_{BC} + U_{CD} \\
	R_S \times I &= R_1 \times I + R_2 \times I \\
	R_S \times I &= ( R_1 + R_2 ) \times I \\
	\end{split}
\end{equation*}
\end{center}

On peut simplifier par I des deux côtés du signe " = " en divisant tout par I et en supposant que $I \neq 0$

\begin{center}
\begin{equation*}
	R_S = ( R_1 + R_2 )
\end{equation*}
\end{center}

De tous cette démonstration rigoureuse nous tirons le fait que deux conducteurs ohmiques $R_1$ et $R_2$ branchés en série l'un de l'autre se comportent comme un seul conducteur ohmique de valeur $R_S$ dont la valeur est donnée par la relation ${ \boxed{R_S = R_1 + R_2} }$. Application à notre exemple : $R_S = 1000 + 457 = 1457\ \Omega$

En généralisant on pourrait écrire : $R_S = R_1 + R_2 + R_3 + ... = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n} {R_n}}$

\subsection*{Hors programme : Association en dérivation de deux conducteurs ohmiques.}

Dans la même optique que ce qui a été vu précédemment, il se peut que ce soit en dérivation que doivent être associés les conducteurs ohmiques, un peu comme dans le schéma ci-après :

\begin{figure}[H]
\begin{center}
	\label{deux_c_ohm_derivation}
	\includegraphics[scale=0.5]{association-derivation-resistance.png}
	\caption{Association de $R_1$ et $R_2$ donnant une résistance équivalent $R_P$.}
\end{center}
\end{figure}

Quelle valeur de résistance équivalente $R_P$ aura-t-on dans ce cas précis ? Examinons les lois et propriétés dont nous avons besoin :

\begin{enumerate}
	\item Loi d'égalité des tensions dans un circuit en dérivation : $U_1 = U_2 = U_3 = ... $
	\item La loi des n\oe{}uds (addition des courants dans un circuit en dérivation) : $ I_0 = I_1 + I_2 $
	\item la loi d'ohm pour un conducteur ohmique : $ U = R \times I $
\end{enumerate}

Dans un premier temps transformons chaque tension électrique grâce à la loi d'ohm en intensité : $ I_1 = \dfrac{U_1}{R_1} $, $ I_2 = \dfrac{U_2}{R_2} $ et $ I_0 = \dfrac{U}{R_P} $. Grâce à la loi d'égalité des tensions électriques on peut dire que $ U_1 = U_2 = U $ et donc les égalités précédentes s'écrivent aussi : $ I_1 = \dfrac{U}{R_1} $, $ I_2 = \dfrac{U}{R_2} $ et $ I_0 = \dfrac{U}{R_P} $.

Utilisons la loi des n\oe{}uds et les égalités précédentes :

\begin{center}
\begin{equation*}
	\begin{split}
	I_0 = & I_1 + I_2 \\
	\dfrac{U}{R_P} = & \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2} \\
	On\ simplifie & par U \\
	\dfrac{1}{R_P} = & \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \\
	\end{split}
\end{equation*}
\end{center}

En généralisant lorsqu'il y a plus de deux conducteurs ohmiques : $ \dfrac{1}{R_P} = \sum_{i=1}^{i=n} \dfrac{1}{R_n}$ et dans le cas où il n'y a que 2 conducteurs ohmiques on obtient par le calcul $ \boxed {R_P = \dfrac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} }$

Si $R_1 = 1000\ \Omega$ et si $R_2 = 457\ \Omega$ alors on obtient :

\begin{center}
\begin{equation*}
	R_P = \dfrac{1000 \times 457}{1000 + 457} = {313,658201784} \approx 314 \ \Omega
\end{equation*}
\end{center}