rooty/LibrePilot
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Code Issues Releases Activity
7a8424e98e
LibrePilot/flight/AHRS/insgps.c
peabody124 0ea95fbad1 AHRS: Separate covariance prediction from state prediction to get updated state out of spi a few milliseconds sooner. 
git-svn-id: svn://svn.openpilot.org/OpenPilot/trunk@1675 ebee16cc-31ac-478f-84a7-5cbb03baadba
2010-09-17 18:15:00 +00:00

605 lines
50 KiB
C
Raw Blame History

/**
******************************************************************************
* @addtogroup AHRS
* @{
* @addtogroup INSGPS
* @{
* @brief INSGPS is a joint attitude and position estimation EKF
*
* @file insgps.c
* @author The OpenPilot Team, http://www.openpilot.org Copyright (C) 2010.
* @brief An INS/GPS algorithm implemented with an EKF.
*
* @see The GNU Public License (GPL) Version 3
*
*****************************************************************************/
/*
* This program is free software; you can redistribute it and/or modify
* it under the terms of the GNU General Public License as published by
* the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or
* (at your option) any later version.
*
* This program is distributed in the hope that it will be useful, but
* WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY
* or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License
* for more details.
*
* You should have received a copy of the GNU General Public License along
* with this program; if not, write to the Free Software Foundation, Inc.,
* 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
*/
#include "insgps.h"
#include <math.h>
#include <stdint.h>
// constants/macros/typdefs
#define NUMX 13 // number of states, X is the state vector
#define NUMW 9 // number of plant noise inputs, w is disturbance noise vector
#define NUMV 10 // number of measurements, v is the measurement noise vector
#define NUMU 6 // number of deterministic inputs, U is the input vector
#if defined(GENERAL_COV)
// This might trick people so I have a note here. There is a slower but bigger version of the
// code here but won't fit when debugging disabled (requires -Os)
#define COVARIANCE_PREDICTION_GENERAL
#endif
// Private functions
void INSCorrection(float mag_data[3], float Pos[3], float Vel[3], float BaroAlt, uint16_t SensorsUsed);
void CovariancePrediction(float F[NUMX][NUMX], float G[NUMX][NUMW], float Q[NUMW], float dT, float P[NUMX][NUMX]);
void SerialUpdate(float H[NUMV][NUMX], float R[NUMV], float Z[NUMV], float Y[NUMV],
float P[NUMX][NUMX], float X[NUMX], uint16_t SensorsUsed);
void RungeKutta(float X[NUMX],float U[NUMU], float dT);
void StateEq(float X[NUMX],float U[NUMU],float Xdot[NUMX]);
void LinearizeFG(float X[NUMX],float U[NUMU], float F[NUMX][NUMX], float G[NUMX][NUMW]);
void MeasurementEq(float X[NUMX], float Be[3], float Y[NUMV]);
void LinearizeH(float X[NUMX], float Be[3], float H[NUMV][NUMX]);
// Private variables
float F[NUMX][NUMX], G[NUMX][NUMW], H[NUMV][NUMX]; // linearized system matrices
// global to init to zero and maintain zero elements
float Be[3]; // local magnetic unit vector in NED frame
float P[NUMX][NUMX], X[NUMX]; // covariance matrix and state vector
float Q[NUMW], R[NUMV]; // input noise and measurement noise variances
float K[NUMX][NUMV]; // feedback gain matrix
// ************* Exposed Functions ****************
// *************************************************
void INSGPSInit() //pretty much just a place holder for now
{
Be[0]=1; Be[1]=0; Be[2]=0; // local magnetic unit vector
P[0][0]=P[1][1]=P[2][2]=25; // initial position variance (m^2)
P[3][3]=P[4][4]=P[5][5]=5; // initial velocity variance (m/s)^2
P[6][6]=P[7][7]=P[8][8]=P[9][9]=1e-5; // initial quaternion variance
P[10][10]=P[11][11]=P[12][12]=1e-5; // initial gyro bias variance (rad/s)^2
X[0]=X[1]=X[2]=X[3]=X[4]=X[5]=0; // initial pos and vel (m)
X[6]=1; X[7]=X[8]=X[9]=0; // initial quaternion (level and North) (m/s)
X[10]=X[11]=X[12]=0; // initial gyro bias (rad/s)
Q[0]=Q[1]=Q[2]=50e-8; // gyro noise variance (rad/s)^2
Q[3]=Q[4]=Q[5]=0.01; // accelerometer noise variance (m/s^2)^2
Q[6]=Q[7]=Q[8]=2e-7; // gyro bias random walk variance (rad/s^2)^2
R[0]=R[1]=0.004; // High freq GPS horizontal position noise variance (m^2)
R[2]=0.036; // High freq GPS vertical position noise variance (m^2)
R[3]=R[4]=0.004; // High freq GPS horizontal velocity noise variance (m/s)^2
R[5]=100; // High freq GPS vertical velocity noise variance (m/s)^2
R[6]=R[7]=R[8]=0.005; // magnetometer unit vector noise variance
R[9]=.05; // High freq altimeter noise variance (m^2)
}
void INSSetPosVelVar(float PosVar)
{
R[0] = PosVar;
R[1] = PosVar;
R[2] = PosVar;
R[3] = PosVar;
R[4] = PosVar;
// R[5] = PosVar; // Don't change vertical velocity, not measured
}
void INSSetGyroBias(float gyro_bias[3])
{
X[10] = gyro_bias[0];
X[11] = gyro_bias[1];
X[12] = gyro_bias[2];
}
void INSSetAccelVar(float accel_var[3])
{
Q[3] = accel_var[0];
Q[4] = accel_var[1];
Q[5] = accel_var[2];
}
void INSSetGyroVar(float gyro_var[3])
{
Q[0] = gyro_var[0];
Q[1] = gyro_var[1];
Q[2] = gyro_var[2];
}
void INSSetMagVar(float scaled_mag_var[3])
{
R[6] = scaled_mag_var[0];
R[7] = scaled_mag_var[1];
R[8] = scaled_mag_var[2];
}
void INSSetMagNorth(float B[3])
{
Be[0] = B[0];
Be[1] = B[1];
Be[2] = B[2];
}
void INSStatePrediction(float gyro_data[3], float accel_data[3], float dT)
{
float U[6];
float qmag;
// rate gyro inputs in units of rad/s
U[0]=gyro_data[0];
U[1]=gyro_data[1];
U[2]=gyro_data[2];
// accelerometer inputs in units of m/s
U[3]=accel_data[0];
U[4]=accel_data[1];
U[5]=accel_data[2];
// EKF prediction step
LinearizeFG(X,U,F,G);
RungeKutta(X,U,dT);
qmag=sqrt(X[6]*X[6] + X[7]*X[7] + X[8]*X[8] + X[9]*X[9]);
X[6] /= qmag; X[7] /= qmag; X[8] /= qmag; X[9] /= qmag;
//CovariancePrediction(F,G,Q,dT,P);
// Update Nav solution structure
Nav.Pos[0] = X[0];
Nav.Pos[1] = X[1];
Nav.Pos[2] = X[2];
Nav.Vel[0] = X[3];
Nav.Vel[1] = X[4];
Nav.Vel[2] = X[5];
Nav.q[0] = X[6];
Nav.q[1] = X[7];
Nav.q[2] = X[8];
Nav.q[3] = X[9];
}
void INSCovariancePrediction(float dT)
{
CovariancePrediction(F,G,Q,dT,P);
}
float zeros[3] = {0,0,0};
void MagCorrection(float mag_data[3])
{
INSCorrection(mag_data, zeros, zeros, zeros[0], MAG_SENSORS);
}
void MagVelBaroCorrection(float mag_data[3], float Vel[3], float BaroAlt)
{
INSCorrection(mag_data, zeros, Vel, BaroAlt, MAG_SENSORS | HORIZ_SENSORS | VERT_SENSORS | BARO_SENSOR);
}
void GpsBaroCorrection(float Pos[3], float Vel[3], float BaroAlt)
{
INSCorrection(zeros, Pos, Vel, BaroAlt, HORIZ_SENSORS | VERT_SENSORS | BARO_SENSOR);
}
void FullCorrection(float mag_data[3], float Pos[3], float Vel[3], float BaroAlt)
{
INSCorrection(mag_data, Pos, Vel, BaroAlt, FULL_SENSORS);
}
void GpsMagCorrection(float mag_data[3], float Pos[3], float Vel[3])
{
INSCorrection(mag_data, Pos, Vel, zeros[0], POS_SENSORS | HORIZ_SENSORS | MAG_SENSORS);
}
void VelBaroCorrection(float Vel[3], float BaroAlt)
{
INSCorrection(zeros, zeros, Vel, BaroAlt, HORIZ_SENSORS | VERT_SENSORS | BARO_SENSOR);
}
void INSCorrection(float mag_data[3], float Pos[3], float Vel[3], float BaroAlt, uint16_t SensorsUsed)
{
float Z[10], Y[10];
float Bmag, qmag;
// GPS Position in meters and in local NED frame
Z[0]=Pos[0];
Z[1]=Pos[1];
Z[2]=Pos[2];
// GPS Velocity in meters and in local NED frame
Z[3]=Vel[0];
Z[4]=Vel[1];
Z[5]=Vel[2];
// magnetometer data in any units (use unit vector) and in body frame
Bmag = sqrt(mag_data[0]*mag_data[0] + mag_data[1]*mag_data[1] + mag_data[2]*mag_data[2]);
Z[6] = mag_data[0]/Bmag;
Z[7] = mag_data[1]/Bmag;
Z[8] = mag_data[2]/Bmag;
// barometric altimeter in meters and in local NED frame
Z[9] = BaroAlt;
// EKF correction step
LinearizeH(X,Be,H);
MeasurementEq(X,Be,Y);
SerialUpdate(H,R,Z,Y,P,X,SensorsUsed);
qmag=sqrt(X[6]*X[6] + X[7]*X[7] + X[8]*X[8] + X[9]*X[9]);
X[6] /= qmag; X[7] /= qmag; X[8] /= qmag; X[9] /= qmag;
// Update Nav solution structure
Nav.Pos[0] = X[0];
Nav.Pos[1] = X[1];
Nav.Pos[2] = X[2];
Nav.Vel[0] = X[3];
Nav.Vel[1] = X[4];
Nav.Vel[2] = X[5];
Nav.q[0] = X[6];
Nav.q[1] = X[7];
Nav.q[2] = X[8];
Nav.q[3] = X[9];
}
// ************* CovariancePrediction *************
// Does the prediction step of the Kalman filter for the covariance matrix
// Output, Pnew, overwrites P, the input covariance
// Pnew = (I+F*T)*P*(I+F*T)' + T^2*G*Q*G'
// Q is the discrete time covariance of process noise
// Q is vector of the diagonal for a square matrix with
// dimensions equal to the number of disturbance noise variables
// The General Method is very inefficient,not taking advantage of the sparse F and G
// The first Method is very specific to this implementation
// ************************************************
#ifdef COVARIANCE_PREDICTION_GENERAL
void CovariancePrediction(float F[NUMX][NUMX], float G[NUMX][NUMW], float Q[NUMW], float dT, float P[NUMX][NUMX]){
float Dummy[NUMX][NUMX], dTsq;
uint8_t i,j,k;
// Pnew = (I+F*T)*P*(I+F*T)' + T^2*G*Q*G' = T^2[(P/T + F*P)*(I/T + F') + G*Q*G')]
dTsq = dT*dT;
for (i=0;i<NUMX;i++) // Calculate Dummy = (P/T +F*P)
for (j=0;j<NUMX;j++){
Dummy[i][j] = P[i][j]/dT;
for (k=0;k<NUMX;k++) Dummy[i][j] += F[i][k]*P[k][j];
}
for (i=0;i<NUMX;i++) // Calculate Pnew = Dummy/T + Dummy*F' + G*Qw*G'
for (j=i;j<NUMX;j++){ // Use symmetry, ie only find upper triangular
P[i][j] = Dummy[i][j]/dT;
for (k=0;k<NUMX;k++) P[i][j] += Dummy[i][k]*F[j][k]; // P = Dummy/T + Dummy*F'
for (k=0;k<NUMW;k++) P[i][j] += Q[k]*G[i][k]*G[j][k]; // P = Dummy/T + Dummy*F' + G*Q*G'
P[j][i] = P[i][j] = P[i][j]*dTsq; // Pnew = T^2*P and fill in lower triangular;
}
}
#else
void CovariancePrediction(float F[NUMX][NUMX], float G[NUMX][NUMW], float Q[NUMW], float dT, float P[NUMX][NUMX]){
float D[NUMX][NUMX], T, Tsq;
uint8_t i,j;
// Pnew = (I+F*T)*P*(I+F*T)' + T^2*G*Q*G' = scalar expansion from symbolic manipulator
T=dT;
Tsq = dT*dT;
for (i=0;i<NUMX;i++) // Create a copy of the upper triangular of P
for (j=i;j<NUMX;j++)
D[i][j] = P[i][j];
// Brute force calculation of the elements of P
P[0][0] = D[3][3]*Tsq + (2*D[0][3])*T + D[0][0];
P[0][1] = P[1][0] = D[3][4]*Tsq + (D[0][4] + D[1][3])*T + D[0][1];
P[0][2] = P[2][0] = D[3][5]*Tsq + (D[0][5] + D[2][3])*T + D[0][2];
P[0][3] = P[3][0] = (F[3][6]*D[3][6] + F[3][7]*D[3][7] + F[3][8]*D[3][8] + F[3][9]*D[3][9])*Tsq + (D[3][3] + F[3][6]*D[0][6] + F[3][7]*D[0][7] + F[3][8]*D[0][8] + F[3][9]*D[0][9])*T + D[0][3];
P[0][4] = P[4][0] = (F[4][6]*D[3][6] + F[4][7]*D[3][7] + F[4][8]*D[3][8] + F[4][9]*D[3][9])*Tsq + (D[3][4] + F[4][6]*D[0][6] + F[4][7]*D[0][7] + F[4][8]*D[0][8] + F[4][9]*D[0][9])*T + D[0][4];
P[0][5] = P[5][0] = (F[5][6]*D[3][6] + F[5][7]*D[3][7] + F[5][8]*D[3][8] + F[5][9]*D[3][9])*Tsq + (D[3][5] + F[5][6]*D[0][6] + F[5][7]*D[0][7] + F[5][8]*D[0][8] + F[5][9]*D[0][9])*T + D[0][5];
P[0][6] = P[6][0] = (F[6][7]*D[3][7] + F[6][8]*D[3][8] + F[6][9]*D[3][9] + F[6][10]*D[3][10] + F[6][11]*D[3][11] + F[6][12]*D[3][12])*Tsq + (D[3][6] + F[6][7]*D[0][7] + F[6][8]*D[0][8] + F[6][9]*D[0][9] + F[6][10]*D[0][10] + F[6][11]*D[0][11] + F[6][12]*D[0][12])*T + D[0][6];
P[0][7] = P[7][0] = (F[7][6]*D[3][6] + F[7][8]*D[3][8] + F[7][9]*D[3][9] + F[7][10]*D[3][10] + F[7][11]*D[3][11] + F[7][12]*D[3][12])*Tsq + (D[3][7] + F[7][6]*D[0][6] + F[7][8]*D[0][8] + F[7][9]*D[0][9] + F[7][10]*D[0][10] + F[7][11]*D[0][11] + F[7][12]*D[0][12])*T + D[0][7];
P[0][8] = P[8][0] = (F[8][6]*D[3][6] + F[8][7]*D[3][7] + F[8][9]*D[3][9] + F[8][10]*D[3][10] + F[8][11]*D[3][11] + F[8][12]*D[3][12])*Tsq + (D[3][8] + F[8][6]*D[0][6] + F[8][7]*D[0][7] + F[8][9]*D[0][9] + F[8][10]*D[0][10] + F[8][11]*D[0][11] + F[8][12]*D[0][12])*T + D[0][8];
P[0][9] = P[9][0] = (F[9][6]*D[3][6] + F[9][7]*D[3][7] + F[9][8]*D[3][8] + F[9][10]*D[3][10] + F[9][11]*D[3][11] + F[9][12]*D[3][12])*Tsq + (D[3][9] + F[9][6]*D[0][6] + F[9][7]*D[0][7] + F[9][8]*D[0][8] + F[9][10]*D[0][10] + F[9][11]*D[0][11] + F[9][12]*D[0][12])*T + D[0][9];
P[0][10] = P[10][0] = D[3][10]*T + D[0][10];
P[0][11] = P[11][0] = D[3][11]*T + D[0][11];
P[0][12] = P[12][0] = D[3][12]*T + D[0][12];
P[1][1] = D[4][4]*Tsq + (2*D[1][4])*T + D[1][1];
P[1][2] = P[2][1] = D[4][5]*Tsq + (D[1][5] + D[2][4])*T + D[1][2];
P[1][3] = P[3][1] = (F[3][6]*D[4][6] + F[3][7]*D[4][7] + F[3][8]*D[4][8] + F[3][9]*D[4][9])*Tsq + (D[3][4] + F[3][6]*D[1][6] + F[3][7]*D[1][7] + F[3][8]*D[1][8] + F[3][9]*D[1][9])*T + D[1][3];
P[1][4] = P[4][1] = (F[4][6]*D[4][6] + F[4][7]*D[4][7] + F[4][8]*D[4][8] + F[4][9]*D[4][9])*Tsq + (D[4][4] + F[4][6]*D[1][6] + F[4][7]*D[1][7] + F[4][8]*D[1][8] + F[4][9]*D[1][9])*T + D[1][4];
P[1][5] = P[5][1] = (F[5][6]*D[4][6] + F[5][7]*D[4][7] + F[5][8]*D[4][8] + F[5][9]*D[4][9])*Tsq + (D[4][5] + F[5][6]*D[1][6] + F[5][7]*D[1][7] + F[5][8]*D[1][8] + F[5][9]*D[1][9])*T + D[1][5];
P[1][6] = P[6][1] = (F[6][7]*D[4][7] + F[6][8]*D[4][8] + F[6][9]*D[4][9] + F[6][10]*D[4][10] + F[6][11]*D[4][11] + F[6][12]*D[4][12])*Tsq + (D[4][6] + F[6][7]*D[1][7] + F[6][8]*D[1][8] + F[6][9]*D[1][9] + F[6][10]*D[1][10] + F[6][11]*D[1][11] + F[6][12]*D[1][12])*T + D[1][6];
P[1][7] = P[7][1] = (F[7][6]*D[4][6] + F[7][8]*D[4][8] + F[7][9]*D[4][9] + F[7][10]*D[4][10] + F[7][11]*D[4][11] + F[7][12]*D[4][12])*Tsq + (D[4][7] + F[7][6]*D[1][6] + F[7][8]*D[1][8] + F[7][9]*D[1][9] + F[7][10]*D[1][10] + F[7][11]*D[1][11] + F[7][12]*D[1][12])*T + D[1][7];
P[1][8] = P[8][1] = (F[8][6]*D[4][6] + F[8][7]*D[4][7] + F[8][9]*D[4][9] + F[8][10]*D[4][10] + F[8][11]*D[4][11] + F[8][12]*D[4][12])*Tsq + (D[4][8] + F[8][6]*D[1][6] + F[8][7]*D[1][7] + F[8][9]*D[1][9] + F[8][10]*D[1][10] + F[8][11]*D[1][11] + F[8][12]*D[1][12])*T + D[1][8];
P[1][9] = P[9][1] = (F[9][6]*D[4][6] + F[9][7]*D[4][7] + F[9][8]*D[4][8] + F[9][10]*D[4][10] + F[9][11]*D[4][11] + F[9][12]*D[4][12])*Tsq + (D[4][9] + F[9][6]*D[1][6] + F[9][7]*D[1][7] + F[9][8]*D[1][8] + F[9][10]*D[1][10] + F[9][11]*D[1][11] + F[9][12]*D[1][12])*T + D[1][9];
P[1][10] = P[10][1] = D[4][10]*T + D[1][10];
P[1][11] = P[11][1] = D[4][11]*T + D[1][11];
P[1][12] = P[12][1] = D[4][12]*T + D[1][12];
P[2][2] = D[5][5]*Tsq + (2*D[2][5])*T + D[2][2];
P[2][3] = P[3][2] = (F[3][6]*D[5][6] + F[3][7]*D[5][7] + F[3][8]*D[5][8] + F[3][9]*D[5][9])*Tsq + (D[3][5] + F[3][6]*D[2][6] + F[3][7]*D[2][7] + F[3][8]*D[2][8] + F[3][9]*D[2][9])*T + D[2][3];
P[2][4] = P[4][2] = (F[4][6]*D[5][6] + F[4][7]*D[5][7] + F[4][8]*D[5][8] + F[4][9]*D[5][9])*Tsq + (D[4][5] + F[4][6]*D[2][6] + F[4][7]*D[2][7] + F[4][8]*D[2][8] + F[4][9]*D[2][9])*T + D[2][4];
P[2][5] = P[5][2] = (F[5][6]*D[5][6] + F[5][7]*D[5][7] + F[5][8]*D[5][8] + F[5][9]*D[5][9])*Tsq + (D[5][5] + F[5][6]*D[2][6] + F[5][7]*D[2][7] + F[5][8]*D[2][8] + F[5][9]*D[2][9])*T + D[2][5];
P[2][6] = P[6][2] = (F[6][7]*D[5][7] + F[6][8]*D[5][8] + F[6][9]*D[5][9] + F[6][10]*D[5][10] + F[6][11]*D[5][11] + F[6][12]*D[5][12])*Tsq + (D[5][6] + F[6][7]*D[2][7] + F[6][8]*D[2][8] + F[6][9]*D[2][9] + F[6][10]*D[2][10] + F[6][11]*D[2][11] + F[6][12]*D[2][12])*T + D[2][6];
P[2][7] = P[7][2] = (F[7][6]*D[5][6] + F[7][8]*D[5][8] + F[7][9]*D[5][9] + F[7][10]*D[5][10] + F[7][11]*D[5][11] + F[7][12]*D[5][12])*Tsq + (D[5][7] + F[7][6]*D[2][6] + F[7][8]*D[2][8] + F[7][9]*D[2][9] + F[7][10]*D[2][10] + F[7][11]*D[2][11] + F[7][12]*D[2][12])*T + D[2][7];
P[2][8] = P[8][2] = (F[8][6]*D[5][6] + F[8][7]*D[5][7] + F[8][9]*D[5][9] + F[8][10]*D[5][10] + F[8][11]*D[5][11] + F[8][12]*D[5][12])*Tsq + (D[5][8] + F[8][6]*D[2][6] + F[8][7]*D[2][7] + F[8][9]*D[2][9] + F[8][10]*D[2][10] + F[8][11]*D[2][11] + F[8][12]*D[2][12])*T + D[2][8];
P[2][9] = P[9][2] = (F[9][6]*D[5][6] + F[9][7]*D[5][7] + F[9][8]*D[5][8] + F[9][10]*D[5][10] + F[9][11]*D[5][11] + F[9][12]*D[5][12])*Tsq + (D[5][9] + F[9][6]*D[2][6] + F[9][7]*D[2][7] + F[9][8]*D[2][8] + F[9][10]*D[2][10] + F[9][11]*D[2][11] + F[9][12]*D[2][12])*T + D[2][9];
P[2][10] = P[10][2] = D[5][10]*T + D[2][10];
P[2][11] = P[11][2] = D[5][11]*T + D[2][11];
P[2][12] = P[12][2] = D[5][12]*T + D[2][12];
P[3][3] = (Q[3]*G[3][3]*G[3][3] + Q[4]*G[3][4]*G[3][4] + Q[5]*G[3][5]*G[3][5] + F[3][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[3][6]*(F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[3][9]*D[6][9]) + F[3][7]*(F[3][6]*D[6][7] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[3][9]*D[7][9]) + F[3][8]*(F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9]))*Tsq + (2*F[3][6]*D[3][6] + 2*F[3][7]*D[3][7] + 2*F[3][8]*D[3][8] + 2*F[3][9]*D[3][9])*T + D[3][3];
P[3][4] = P[4][3] = (F[4][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[4][6]*(F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[3][9]*D[6][9]) + F[4][7]*(F[3][6]*D[6][7] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[3][9]*D[7][9]) + F[4][8]*(F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9]) + G[3][3]*G[4][3]*Q[3] + G[3][4]*G[4][4]*Q[4] + G[3][5]*G[4][5]*Q[5])*Tsq + (F[3][6]*D[4][6] + F[4][6]*D[3][6] + F[3][7]*D[4][7] + F[4][7]*D[3][7] + F[3][8]*D[4][8] + F[4][8]*D[3][8] + F[3][9]*D[4][9] + F[4][9]*D[3][9])*T + D[3][4];
P[3][5] = P[5][3] = (F[5][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[5][6]*(F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[3][9]*D[6][9]) + F[5][7]*(F[3][6]*D[6][7] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[3][9]*D[7][9]) + F[5][8]*(F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9]) + G[3][3]*G[5][3]*Q[3] + G[3][4]*G[5][4]*Q[4] + G[3][5]*G[5][5]*Q[5])*Tsq + (F[3][6]*D[5][6] + F[5][6]*D[3][6] + F[3][7]*D[5][7] + F[5][7]*D[3][7] + F[3][8]*D[5][8] + F[5][8]*D[3][8] + F[3][9]*D[5][9] + F[5][9]*D[3][9])*T + D[3][5];
P[3][6] = P[6][3] = (F[6][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[6][10]*(F[3][9]*D[9][10] + F[3][6]*D[6][10] + F[3][7]*D[7][10] + F[3][8]*D[8][10]) + F[6][11]*(F[3][9]*D[9][11] + F[3][6]*D[6][11] + F[3][7]*D[7][11] + F[3][8]*D[8][11]) + F[6][12]*(F[3][9]*D[9][12] + F[3][6]*D[6][12] + F[3][7]*D[7][12] + F[3][8]*D[8][12]) + F[6][7]*(F[3][6]*D[6][7] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[3][9]*D[7][9]) + F[6][8]*(F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9]))*Tsq + (F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[6][7]*D[3][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[6][8]*D[3][8] + F[3][9]*D[6][9] + F[6][9]*D[3][9] + F[6][10]*D[3][10] + F[6][11]*D[3][11] + F[6][12]*D[3][12])*T + D[3][6];
P[3][7] = P[7][3] = (F[7][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[7][10]*(F[3][9]*D[9][10] + F[3][6]*D[6][10] + F[3][7]*D[7][10] + F[3][8]*D[8][10]) + F[7][11]*(F[3][9]*D[9][11] + F[3][6]*D[6][11] + F[3][7]*D[7][11] + F[3][8]*D[8][11]) + F[7][12]*(F[3][9]*D[9][12] + F[3][6]*D[6][12] + F[3][7]*D[7][12] + F[3][8]*D[8][12]) + F[7][6]*(F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[3][9]*D[6][9]) + F[7][8]*(F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9]))*Tsq + (F[3][6]*D[6][7] + F[7][6]*D[3][6] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[7][8]*D[3][8] + F[3][9]*D[7][9] + F[7][9]*D[3][9] + F[7][10]*D[3][10] + F[7][11]*D[3][11] + F[7][12]*D[3][12])*T + D[3][7];
P[3][8] = P[8][3] = (F[8][9]*(F[3][9]*D[9][9] + F[3][6]*D[6][9] + F[3][7]*D[7][9] + F[3][8]*D[8][9]) + F[8][10]*(F[3][9]*D[9][10] + F[3][6]*D[6][10] + F[3][7]*D[7][10] + F[3][8]*D[8][10]) + F[8][11]*(F[3][9]*D[9][11] + F[3][6]*D[6][11] + F[3][7]*D[7][11] + F[3][8]*D[8][11]) + F[8][12]*(F[3][9]*D[9][12] + F[3][6]*D[6][12] + F[3][7]*D[7][12] + F[3][8]*D[8][12]) + F[8][6]*(F[3][6]*D[6][6] + F[3][7]*D[6][7] + F[3][8]*D[6][8] + F[3][9]*D[6][9]) + F[8][7]*(F[3][6]*D[6][7] + F[3][7]*D[7][7] + F[3][8]*D[7][8] + F[3][9]*D[7][9]))*Tsq + (F[3][6]*D[6][8] + F[3][7]*D[7][8] + F[8][6]*D[3][6] + F[8][7]*D[3][7] + F[3][8]*D[8][8] + F[3][9]*D[8][9] + F[8][9]*D[3][9] + F[8][10]*D[3][10] + F[8][11]*D[3][11] + F[8][12]*D[3][12])*T + D[3][8];
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P[5][5] = (Q[3]*G[5][3]*G[5][3] + Q[4]*G[5][4]*G[5][4] + Q[5]*G[5][5]*G[5][5] + F[5][9]*(F[5][9]*D[9][9] + F[5][6]*D[6][9] + F[5][7]*D[7][9] + F[5][8]*D[8][9]) + F[5][6]*(F[5][6]*D[6][6] + F[5][7]*D[6][7] + F[5][8]*D[6][8] + F[5][9]*D[6][9]) + F[5][7]*(F[5][6]*D[6][7] + F[5][7]*D[7][7] + F[5][8]*D[7][8] + F[5][9]*D[7][9]) + F[5][8]*(F[5][6]*D[6][8] + F[5][7]*D[7][8] + F[5][8]*D[8][8] + F[5][9]*D[8][9]))*Tsq + (2*F[5][6]*D[5][6] + 2*F[5][7]*D[5][7] + 2*F[5][8]*D[5][8] + 2*F[5][9]*D[5][9])*T + D[5][5];
P[5][6] = P[6][5] = (F[6][9]*(F[5][9]*D[9][9] + F[5][6]*D[6][9] + F[5][7]*D[7][9] + F[5][8]*D[8][9]) + F[6][10]*(F[5][9]*D[9][10] + F[5][6]*D[6][10] + F[5][7]*D[7][10] + F[5][8]*D[8][10]) + F[6][11]*(F[5][9]*D[9][11] + F[5][6]*D[6][11] + F[5][7]*D[7][11] + F[5][8]*D[8][11]) + F[6][12]*(F[5][9]*D[9][12] + F[5][6]*D[6][12] + F[5][7]*D[7][12] + F[5][8]*D[8][12]) + F[6][7]*(F[5][6]*D[6][7] + F[5][7]*D[7][7] + F[5][8]*D[7][8] + F[5][9]*D[7][9]) + F[6][8]*(F[5][6]*D[6][8] + F[5][7]*D[7][8] + F[5][8]*D[8][8] + F[5][9]*D[8][9]))*Tsq + (F[5][6]*D[6][6] + F[5][7]*D[6][7] + F[6][7]*D[5][7] + F[5][8]*D[6][8] + F[6][8]*D[5][8] + F[5][9]*D[6][9] + F[6][9]*D[5][9] + F[6][10]*D[5][10] + F[6][11]*D[5][11] + F[6][12]*D[5][12])*T + D[5][6];
P[5][7] = P[7][5] = (F[7][9]*(F[5][9]*D[9][9] + F[5][6]*D[6][9] + F[5][7]*D[7][9] + F[5][8]*D[8][9]) + F[7][10]*(F[5][9]*D[9][10] + F[5][6]*D[6][10] + F[5][7]*D[7][10] + F[5][8]*D[8][10]) + F[7][11]*(F[5][9]*D[9][11] + F[5][6]*D[6][11] + F[5][7]*D[7][11] + F[5][8]*D[8][11]) + F[7][12]*(F[5][9]*D[9][12] + F[5][6]*D[6][12] + F[5][7]*D[7][12] + F[5][8]*D[8][12]) + F[7][6]*(F[5][6]*D[6][6] + F[5][7]*D[6][7] + F[5][8]*D[6][8] + F[5][9]*D[6][9]) + F[7][8]*(F[5][6]*D[6][8] + F[5][7]*D[7][8] + F[5][8]*D[8][8] + F[5][9]*D[8][9]))*Tsq + (F[5][6]*D[6][7] + F[7][6]*D[5][6] + F[5][7]*D[7][7] + F[5][8]*D[7][8] + F[7][8]*D[5][8] + F[5][9]*D[7][9] + F[7][9]*D[5][9] + F[7][10]*D[5][10] + F[7][11]*D[5][11] + F[7][12]*D[5][12])*T + D[5][7];
P[5][8] = P[8][5] = (F[8][9]*(F[5][9]*D[9][9] + F[5][6]*D[6][9] + F[5][7]*D[7][9] + F[5][8]*D[8][9]) + F[8][10]*(F[5][9]*D[9][10] + F[5][6]*D[6][10] + F[5][7]*D[7][10] + F[5][8]*D[8][10]) + F[8][11]*(F[5][9]*D[9][11] + F[5][6]*D[6][11] + F[5][7]*D[7][11] + F[5][8]*D[8][11]) + F[8][12]*(F[5][9]*D[9][12] + F[5][6]*D[6][12] + F[5][7]*D[7][12] + F[5][8]*D[8][12]) + F[8][6]*(F[5][6]*D[6][6] + F[5][7]*D[6][7] + F[5][8]*D[6][8] + F[5][9]*D[6][9]) + F[8][7]*(F[5][6]*D[6][7] + F[5][7]*D[7][7] + F[5][8]*D[7][8] + F[5][9]*D[7][9]))*Tsq + (F[5][6]*D[6][8] + F[5][7]*D[7][8] + F[8][6]*D[5][6] + F[8][7]*D[5][7] + F[5][8]*D[8][8] + F[5][9]*D[8][9] + F[8][9]*D[5][9] + F[8][10]*D[5][10] + F[8][11]*D[5][11] + F[8][12]*D[5][12])*T + D[5][8];
P[5][9] = P[9][5] = (F[9][10]*(F[5][9]*D[9][10] + F[5][6]*D[6][10] + F[5][7]*D[7][10] + F[5][8]*D[8][10]) + F[9][11]*(F[5][9]*D[9][11] + F[5][6]*D[6][11] + F[5][7]*D[7][11] + F[5][8]*D[8][11]) + F[9][12]*(F[5][9]*D[9][12] + F[5][6]*D[6][12] + F[5][7]*D[7][12] + F[5][8]*D[8][12]) + F[9][6]*(F[5][6]*D[6][6] + F[5][7]*D[6][7] + F[5][8]*D[6][8] + F[5][9]*D[6][9]) + F[9][7]*(F[5][6]*D[6][7] + F[5][7]*D[7][7] + F[5][8]*D[7][8] + F[5][9]*D[7][9]) + F[9][8]*(F[5][6]*D[6][8] + F[5][7]*D[7][8] + F[5][8]*D[8][8] + F[5][9]*D[8][9]))*Tsq + (F[9][6]*D[5][6] + F[9][7]*D[5][7] + F[9][8]*D[5][8] + F[5][9]*D[9][9] + F[9][10]*D[5][10] + F[9][11]*D[5][11] + F[9][12]*D[5][12] + F[5][6]*D[6][9] + F[5][7]*D[7][9] + F[5][8]*D[8][9])*T + D[5][9];
P[5][10] = P[10][5] = (F[5][9]*D[9][10] + F[5][6]*D[6][10] + F[5][7]*D[7][10] + F[5][8]*D[8][10])*T + D[5][10];
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P[5][12] = P[12][5] = (F[5][9]*D[9][12] + F[5][6]*D[6][12] + F[5][7]*D[7][12] + F[5][8]*D[8][12])*T + D[5][12];
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P[6][8] = P[8][6] = (F[8][9]*(F[6][9]*D[9][9] + F[6][10]*D[9][10] + F[6][11]*D[9][11] + F[6][12]*D[9][12] + F[6][7]*D[7][9] + F[6][8]*D[8][9]) + F[8][10]*(F[6][9]*D[9][10] + F[6][10]*D[10][10] + F[6][11]*D[10][11] + F[6][12]*D[10][12] + F[6][7]*D[7][10] + F[6][8]*D[8][10]) + F[8][11]*(F[6][9]*D[9][11] + F[6][10]*D[10][11] + F[6][11]*D[11][11] + F[6][12]*D[11][12] + F[6][7]*D[7][11] + F[6][8]*D[8][11]) + F[8][12]*(F[6][9]*D[9][12] + F[6][10]*D[10][12] + F[6][11]*D[11][12] + F[6][12]*D[12][12] + F[6][7]*D[7][12] + F[6][8]*D[8][12]) + F[8][6]*(F[6][7]*D[6][7] + F[6][8]*D[6][8] + F[6][9]*D[6][9] + F[6][10]*D[6][10] + F[6][11]*D[6][11] + F[6][12]*D[6][12]) + F[8][7]*(F[6][7]*D[7][7] + F[6][8]*D[7][8] + F[6][9]*D[7][9] + F[6][10]*D[7][10] + F[6][11]*D[7][11] + F[6][12]*D[7][12]) + G[6][0]*G[8][0]*Q[0] + G[6][1]*G[8][1]*Q[1] + G[6][2]*G[8][2]*Q[2])*Tsq + (F[6][7]*D[7][8] + F[8][6]*D[6][6] + F[8][7]*D[6][7] + F[6][8]*D[8][8] + F[6][9]*D[8][9] + F[8][9]*D[6][9] + F[6][10]*D[8][10] + F[8][10]*D[6][10] + F[6][11]*D[8][11] + F[8][11]*D[6][11] + F[6][12]*D[8][12] + F[8][12]*D[6][12])*T + D[6][8];
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P[6][11] = P[11][6] = (F[6][9]*D[9][11] + F[6][10]*D[10][11] + F[6][11]*D[11][11] + F[6][12]*D[11][12] + F[6][7]*D[7][11] + F[6][8]*D[8][11])*T + D[6][11];
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P[7][7] = (Q[0]*G[7][0]*G[7][0] + Q[1]*G[7][1]*G[7][1] + Q[2]*G[7][2]*G[7][2] + F[7][9]*(F[7][9]*D[9][9] + F[7][10]*D[9][10] + F[7][11]*D[9][11] + F[7][12]*D[9][12] + F[7][6]*D[6][9] + F[7][8]*D[8][9]) + F[7][10]*(F[7][9]*D[9][10] + F[7][10]*D[10][10] + F[7][11]*D[10][11] + F[7][12]*D[10][12] + F[7][6]*D[6][10] + F[7][8]*D[8][10]) + F[7][11]*(F[7][9]*D[9][11] + F[7][10]*D[10][11] + F[7][11]*D[11][11] + F[7][12]*D[11][12] + F[7][6]*D[6][11] + F[7][8]*D[8][11]) + F[7][12]*(F[7][9]*D[9][12] + F[7][10]*D[10][12] + F[7][11]*D[11][12] + F[7][12]*D[12][12] + F[7][6]*D[6][12] + F[7][8]*D[8][12]) + F[7][6]*(F[7][6]*D[6][6] + F[7][8]*D[6][8] + F[7][9]*D[6][9] + F[7][10]*D[6][10] + F[7][11]*D[6][11] + F[7][12]*D[6][12]) + F[7][8]*(F[7][6]*D[6][8] + F[7][8]*D[8][8] + F[7][9]*D[8][9] + F[7][10]*D[8][10] + F[7][11]*D[8][11] + F[7][12]*D[8][12]))*Tsq + (2*F[7][6]*D[6][7] + 2*F[7][8]*D[7][8] + 2*F[7][9]*D[7][9] + 2*F[7][10]*D[7][10] + 2*F[7][11]*D[7][11] + 2*F[7][12]*D[7][12])*T + D[7][7];
P[7][8] = P[8][7] = (F[8][9]*(F[7][9]*D[9][9] + F[7][10]*D[9][10] + F[7][11]*D[9][11] + F[7][12]*D[9][12] + F[7][6]*D[6][9] + F[7][8]*D[8][9]) + F[8][10]*(F[7][9]*D[9][10] + F[7][10]*D[10][10] + F[7][11]*D[10][11] + F[7][12]*D[10][12] + F[7][6]*D[6][10] + F[7][8]*D[8][10]) + F[8][11]*(F[7][9]*D[9][11] + F[7][10]*D[10][11] + F[7][11]*D[11][11] + F[7][12]*D[11][12] + F[7][6]*D[6][11] + F[7][8]*D[8][11]) + F[8][12]*(F[7][9]*D[9][12] + F[7][10]*D[10][12] + F[7][11]*D[11][12] + F[7][12]*D[12][12] + F[7][6]*D[6][12] + F[7][8]*D[8][12]) + F[8][6]*(F[7][6]*D[6][6] + F[7][8]*D[6][8] + F[7][9]*D[6][9] + F[7][10]*D[6][10] + F[7][11]*D[6][11] + F[7][12]*D[6][12]) + F[8][7]*(F[7][6]*D[6][7] + F[7][8]*D[7][8] + F[7][9]*D[7][9] + F[7][10]*D[7][10] + F[7][11]*D[7][11] + F[7][12]*D[7][12]) + G[7][0]*G[8][0]*Q[0] + G[7][1]*G[8][1]*Q[1] + G[7][2]*G[8][2]*Q[2])*Tsq + (F[7][6]*D[6][8] + F[8][6]*D[6][7] + F[8][7]*D[7][7] + F[7][8]*D[8][8] + F[7][9]*D[8][9] + F[8][9]*D[7][9] + F[7][10]*D[8][10] + F[8][10]*D[7][10] + F[7][11]*D[8][11] + F[8][11]*D[7][11] + F[7][12]*D[8][12] + F[8][12]*D[7][12])*T + D[7][8];
P[7][9] = P[9][7] = (F[9][10]*(F[7][9]*D[9][10] + F[7][10]*D[10][10] + F[7][11]*D[10][11] + F[7][12]*D[10][12] + F[7][6]*D[6][10] + F[7][8]*D[8][10]) + F[9][11]*(F[7][9]*D[9][11] + F[7][10]*D[10][11] + F[7][11]*D[11][11] + F[7][12]*D[11][12] + F[7][6]*D[6][11] + F[7][8]*D[8][11]) + F[9][12]*(F[7][9]*D[9][12] + F[7][10]*D[10][12] + F[7][11]*D[11][12] + F[7][12]*D[12][12] + F[7][6]*D[6][12] + F[7][8]*D[8][12]) + F[9][6]*(F[7][6]*D[6][6] + F[7][8]*D[6][8] + F[7][9]*D[6][9] + F[7][10]*D[6][10] + F[7][11]*D[6][11] + F[7][12]*D[6][12]) + F[9][7]*(F[7][6]*D[6][7] + F[7][8]*D[7][8] + F[7][9]*D[7][9] + F[7][10]*D[7][10] + F[7][11]*D[7][11] + F[7][12]*D[7][12]) + F[9][8]*(F[7][6]*D[6][8] + F[7][8]*D[8][8] + F[7][9]*D[8][9] + F[7][10]*D[8][10] + F[7][11]*D[8][11] + F[7][12]*D[8][12]) + G[9][0]*G[7][0]*Q[0] + G[9][1]*G[7][1]*Q[1] + G[9][2]*G[7][2]*Q[2])*Tsq + (F[9][6]*D[6][7] + F[9][7]*D[7][7] + F[9][8]*D[7][8] + F[7][9]*D[9][9] + F[9][10]*D[7][10] + F[7][10]*D[9][10] + F[9][11]*D[7][11] + F[7][11]*D[9][11] + F[9][12]*D[7][12] + F[7][12]*D[9][12] + F[7][6]*D[6][9] + F[7][8]*D[8][9])*T + D[7][9];
P[7][10] = P[10][7] = (F[7][9]*D[9][10] + F[7][10]*D[10][10] + F[7][11]*D[10][11] + F[7][12]*D[10][12] + F[7][6]*D[6][10] + F[7][8]*D[8][10])*T + D[7][10];
P[7][11] = P[11][7] = (F[7][9]*D[9][11] + F[7][10]*D[10][11] + F[7][11]*D[11][11] + F[7][12]*D[11][12] + F[7][6]*D[6][11] + F[7][8]*D[8][11])*T + D[7][11];
P[7][12] = P[12][7] = (F[7][9]*D[9][12] + F[7][10]*D[10][12] + F[7][11]*D[11][12] + F[7][12]*D[12][12] + F[7][6]*D[6][12] + F[7][8]*D[8][12])*T + D[7][12];
P[8][8] = (Q[0]*G[8][0]*G[8][0] + Q[1]*G[8][1]*G[8][1] + Q[2]*G[8][2]*G[8][2] + F[8][9]*(F[8][9]*D[9][9] + F[8][10]*D[9][10] + F[8][11]*D[9][11] + F[8][12]*D[9][12] + F[8][6]*D[6][9] + F[8][7]*D[7][9]) + F[8][10]*(F[8][9]*D[9][10] + F[8][10]*D[10][10] + F[8][11]*D[10][11] + F[8][12]*D[10][12] + F[8][6]*D[6][10] + F[8][7]*D[7][10]) + F[8][11]*(F[8][9]*D[9][11] + F[8][10]*D[10][11] + F[8][11]*D[11][11] + F[8][12]*D[11][12] + F[8][6]*D[6][11] + F[8][7]*D[7][11]) + F[8][12]*(F[8][9]*D[9][12] + F[8][10]*D[10][12] + F[8][11]*D[11][12] + F[8][12]*D[12][12] + F[8][6]*D[6][12] + F[8][7]*D[7][12]) + F[8][6]*(F[8][6]*D[6][6] + F[8][7]*D[6][7] + F[8][9]*D[6][9] + F[8][10]*D[6][10] + F[8][11]*D[6][11] + F[8][12]*D[6][12]) + F[8][7]*(F[8][6]*D[6][7] + F[8][7]*D[7][7] + F[8][9]*D[7][9] + F[8][10]*D[7][10] + F[8][11]*D[7][11] + F[8][12]*D[7][12]))*Tsq + (2*F[8][6]*D[6][8] + 2*F[8][7]*D[7][8] + 2*F[8][9]*D[8][9] + 2*F[8][10]*D[8][10] + 2*F[8][11]*D[8][11] + 2*F[8][12]*D[8][12])*T + D[8][8];
P[8][9] = P[9][8] = (F[9][10]*(F[8][9]*D[9][10] + F[8][10]*D[10][10] + F[8][11]*D[10][11] + F[8][12]*D[10][12] + F[8][6]*D[6][10] + F[8][7]*D[7][10]) + F[9][11]*(F[8][9]*D[9][11] + F[8][10]*D[10][11] + F[8][11]*D[11][11] + F[8][12]*D[11][12] + F[8][6]*D[6][11] + F[8][7]*D[7][11]) + F[9][12]*(F[8][9]*D[9][12] + F[8][10]*D[10][12] + F[8][11]*D[11][12] + F[8][12]*D[12][12] + F[8][6]*D[6][12] + F[8][7]*D[7][12]) + F[9][6]*(F[8][6]*D[6][6] + F[8][7]*D[6][7] + F[8][9]*D[6][9] + F[8][10]*D[6][10] + F[8][11]*D[6][11] + F[8][12]*D[6][12]) + F[9][7]*(F[8][6]*D[6][7] + F[8][7]*D[7][7] + F[8][9]*D[7][9] + F[8][10]*D[7][10] + F[8][11]*D[7][11] + F[8][12]*D[7][12]) + F[9][8]*(F[8][6]*D[6][8] + F[8][7]*D[7][8] + F[8][9]*D[8][9] + F[8][10]*D[8][10] + F[8][11]*D[8][11] + F[8][12]*D[8][12]) + G[9][0]*G[8][0]*Q[0] + G[9][1]*G[8][1]*Q[1] + G[9][2]*G[8][2]*Q[2])*Tsq + (F[9][6]*D[6][8] + F[9][7]*D[7][8] + F[9][8]*D[8][8] + F[8][9]*D[9][9] + F[9][10]*D[8][10] + F[8][10]*D[9][10] + F[9][11]*D[8][11] + F[8][11]*D[9][11] + F[9][12]*D[8][12] + F[8][12]*D[9][12] + F[8][6]*D[6][9] + F[8][7]*D[7][9])*T + D[8][9];
P[8][10] = P[10][8] = (F[8][9]*D[9][10] + F[8][10]*D[10][10] + F[8][11]*D[10][11] + F[8][12]*D[10][12] + F[8][6]*D[6][10] + F[8][7]*D[7][10])*T + D[8][10];
P[8][11] = P[11][8] = (F[8][9]*D[9][11] + F[8][10]*D[10][11] + F[8][11]*D[11][11] + F[8][12]*D[11][12] + F[8][6]*D[6][11] + F[8][7]*D[7][11])*T + D[8][11];
P[8][12] = P[12][8] = (F[8][9]*D[9][12] + F[8][10]*D[10][12] + F[8][11]*D[11][12] + F[8][12]*D[12][12] + F[8][6]*D[6][12] + F[8][7]*D[7][12])*T + D[8][12];
P[9][9] = (Q[0]*G[9][0]*G[9][0] + Q[1]*G[9][1]*G[9][1] + Q[2]*G[9][2]*G[9][2] + F[9][10]*(F[9][10]*D[10][10] + F[9][11]*D[10][11] + F[9][12]*D[10][12] + F[9][6]*D[6][10] + F[9][7]*D[7][10] + F[9][8]*D[8][10]) + F[9][11]*(F[9][10]*D[10][11] + F[9][11]*D[11][11] + F[9][12]*D[11][12] + F[9][6]*D[6][11] + F[9][7]*D[7][11] + F[9][8]*D[8][11]) + F[9][12]*(F[9][10]*D[10][12] + F[9][11]*D[11][12] + F[9][12]*D[12][12] + F[9][6]*D[6][12] + F[9][7]*D[7][12] + F[9][8]*D[8][12]) + F[9][6]*(F[9][6]*D[6][6] + F[9][7]*D[6][7] + F[9][8]*D[6][8] + F[9][10]*D[6][10] + F[9][11]*D[6][11] + F[9][12]*D[6][12]) + F[9][7]*(F[9][6]*D[6][7] + F[9][7]*D[7][7] + F[9][8]*D[7][8] + F[9][10]*D[7][10] + F[9][11]*D[7][11] + F[9][12]*D[7][12]) + F[9][8]*(F[9][6]*D[6][8] + F[9][7]*D[7][8] + F[9][8]*D[8][8] + F[9][10]*D[8][10] + F[9][11]*D[8][11] + F[9][12]*D[8][12]))*Tsq + (2*F[9][10]*D[9][10] + 2*F[9][11]*D[9][11] + 2*F[9][12]*D[9][12] + 2*F[9][6]*D[6][9] + 2*F[9][7]*D[7][9] + 2*F[9][8]*D[8][9])*T + D[9][9];
P[9][10] = P[10][9] = (F[9][10]*D[10][10] + F[9][11]*D[10][11] + F[9][12]*D[10][12] + F[9][6]*D[6][10] + F[9][7]*D[7][10] + F[9][8]*D[8][10])*T + D[9][10];
P[9][11] = P[11][9] = (F[9][10]*D[10][11] + F[9][11]*D[11][11] + F[9][12]*D[11][12] + F[9][6]*D[6][11] + F[9][7]*D[7][11] + F[9][8]*D[8][11])*T + D[9][11];
P[9][12] = P[12][9] = (F[9][10]*D[10][12] + F[9][11]*D[11][12] + F[9][12]*D[12][12] + F[9][6]*D[6][12] + F[9][7]*D[7][12] + F[9][8]*D[8][12])*T + D[9][12];
P[10][10] = Q[6]*Tsq + D[10][10];
P[10][11] = P[11][10] = D[10][11];
P[10][12] = P[12][10] = D[10][12];
P[11][11] = Q[7]*Tsq + D[11][11];
P[11][12] = P[12][11] = D[11][12];
P[12][12] = Q[8]*Tsq + D[12][12];
}
#endif
// ************* SerialUpdate *******************
// Does the update step of the Kalman filter for the covariance and estimate
// Outputs are Xnew & Pnew, and are written over P and X
// Z is actual measurement, Y is predicted measurement
// Xnew = X + K*(Z-Y), Pnew=(I-K*H)*P,
// where K=P*H'*inv[H*P*H'+R]
// NOTE the algorithm assumes R (measurement covariance matrix) is diagonal
// i.e. the measurment noises are uncorrelated.
// It therefore uses a serial update that requires no matrix inversion by
// processing the measurements one at a time.
// Algorithm - see Grewal and Andrews, "Kalman Filtering,2nd Ed" p.121 & p.253
// - or see Simon, "Optimal State Estimation," 1st Ed, p.150
// The SensorsUsed variable is a bitwise mask indicating which sensors
// should be used in the update.
// ************************************************
void SerialUpdate(float H[NUMV][NUMX], float R[NUMV], float Z[NUMV], float Y[NUMV],
float P[NUMX][NUMX], float X[NUMX], uint16_t SensorsUsed){
float HP[NUMX], HPHR, Error;
uint8_t i,j,k,m;
for (m=0;m<NUMV;m++){
if ( SensorsUsed & (0x01<<m)){ // use this sensor for update
for (j=0;j<NUMX;j++){ // Find Hp = H*P
HP[j]=0;
for (k=0;k<NUMX;k++) HP[j] += H[m][k]*P[k][j];
}
HPHR = R[m]; // Find HPHR = H*P*H' + R
for (k=0;k<NUMX;k++) HPHR += HP[k]*H[m][k];
for (k=0;k<NUMX;k++) K[m][k] = HP[k]/HPHR; // find K = HP/HPHR
for (i=0;i<NUMX;i++){ // Find P(m)= P(m-1) + K*HP
for (j=i;j<NUMX;j++) P[i][j]=P[j][i] = P[i][j] - K[m][i]*HP[j];
}
Error = Z[m]-Y[m];
for (i=0;i<NUMX;i++) // Find X(m)= X(m-1) + K*Error
X[i] = X[i] + K[m][i]*Error;
}
}
}
// ************* RungeKutta **********************
// Does a 4th order Runge Kutta numerical integration step
// Output, Xnew, is written over X
// NOTE the algorithm assumes time invariant state equations and
// constant inputs over integration step
// ************************************************
void RungeKutta(float X[NUMX],float U[NUMU], float dT){
float dT2=dT/2, K1[NUMX], K2[NUMX], K3[NUMX], K4[NUMX], Xlast[NUMX];
uint8_t i;
for (i=0;i<NUMX;i++) Xlast[i] = X[i]; // make a working copy
StateEq(X,U,K1); // k1 = f(x,u)
for (i=0;i<NUMX;i++) X[i] = Xlast[i] + dT2*K1[i];
StateEq(X,U,K2); // k2 = f(x+0.5*dT*k1,u)
for (i=0;i<NUMX;i++) X[i] = Xlast[i] + dT2*K2[i];
StateEq(X,U,K3); // k3 = f(x+0.5*dT*k2,u)
for (i=0;i<NUMX;i++) X[i] = Xlast[i] + dT*K3[i];
StateEq(X,U,K4); // k4 = f(x+dT*k3,u)
// Xnew = X + dT*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
for (i=0;i<NUMX;i++) X[i] = Xlast[i] + dT*(K1[i]+2*K2[i]+2*K3[i]+K4[i])/6;
}
// ************* Model Specific Stuff ***************************
// *** StateEq, MeasurementEq, LinerizeFG, and LinearizeH ********
//
// State Variables = [Pos Vel Quaternion GyroBias NO-AccelBias]
// Deterministic Inputs = [AngularVel Accel]
// Disturbance Noise = [GyroNoise AccelNoise GyroRandomWalkNoise NO-AccelRandomWalkNoise]
//
// Measurement Variables = [Pos Vel BodyFrameMagField Altimeter]
// Inputs to Measurement = [EarthFrameMagField]
//
// Notes: Pos and Vel in earth frame
// AngularVel and Accel in body frame
// MagFields are unit vectors
// Xdot is output of StateEq()
// F and G are outputs of LinearizeFG(), all elements not set should be zero
// y is output of OutputEq()
// H is output of LinearizeH(), all elements not set should be zero
// ************************************************
void StateEq(float X[NUMX],float U[NUMU],float Xdot[NUMX]){
float ax, ay, az, wx, wy, wz, q0, q1, q2, q3;
// ax=U[3]-X[13]; ay=U[4]-X[14]; az=U[5]-X[15]; // subtract the biases on accels
ax=U[3]; ay=U[4]; az=U[5]; // NO BIAS STATES ON ACCELS
wx=U[0]-X[10]; wy=U[1]-X[11]; wz=U[2]-X[12]; // subtract the biases on gyros
q0=X[6]; q1=X[7]; q2=X[8]; q3=X[9];
// Pdot = V
Xdot[0]=X[3]; Xdot[1]=X[4]; Xdot[2]=X[5];
// Vdot = Reb*a
Xdot[3]=(q0*q0+q1*q1-q2*q2-q3*q3)*ax + 2*(q1*q2-q0*q3)*ay + 2*(q1*q3+q0*q2)*az;
Xdot[4]=2*(q1*q2+q0*q3)*ax + (q0*q0-q1*q1+q2*q2-q3*q3)*ay + 2*(q2*q3-q0*q1)*az;
Xdot[5]=2*(q1*q3-q0*q2)*ax + 2*(q2*q3+q0*q1)*ay + (q0*q0-q1*q1-q2*q2+q3*q3)*az + 9.81;
// qdot = Q*w
Xdot[6] = (-q1*wx-q2*wy-q3*wz)/2;
Xdot[7] = (q0*wx-q3*wy+q2*wz)/2;
Xdot[8] = (q3*wx+q0*wy-q1*wz)/2;
Xdot[9] = (-q2*wx+q1*wy+q0*wz)/2;
// best guess is that bias stays constant
Xdot[10]=Xdot[11]=Xdot[12]=0;
}
void LinearizeFG(float X[NUMX],float U[NUMU], float F[NUMX][NUMX], float G[NUMX][NUMW]){
float ax, ay, az, wx, wy, wz, q0, q1, q2, q3;
// ax=U[3]-X[13]; ay=U[4]-X[14]; az=U[5]-X[15]; // subtract the biases on accels
ax=U[3]; ay=U[4]; az=U[5]; // NO BIAS STATES ON ACCELS
wx=U[0]-X[10]; wy=U[1]-X[11]; wz=U[2]-X[12]; // subtract the biases on gyros
q0=X[6]; q1=X[7]; q2=X[8]; q3=X[9];
// Pdot = V
F[0][3]=F[1][4]=F[2][5]=1;
// dVdot/dq
F[3][6]=2*(q0*ax-q3*ay+q2*az); F[3][7]=2*(q1*ax+q2*ay+q3*az); F[3][8]=2*(-q2*ax+q1*ay+q0*az); F[3][9]=2*(-q3*ax-q0*ay+q1*az);
F[4][6]=2*(q3*ax+q0*ay-q1*az); F[4][7]=2*(q2*ax-q1*ay-q0*az); F[4][8]=2*(q1*ax+q2*ay+q3*az); F[4][9]=2*(q0*ax-q3*ay+q2*az);
F[5][6]=2*(-q2*ax+q1*ay+q0*az); F[5][7]=2*(q3*ax+q0*ay-q1*az); F[5][8]=2*(-q0*ax+q3*ay-q2*az); F[5][9]=2*(q1*ax+q2*ay+q3*az);
// dVdot/dabias & dVdot/dna - NO BIAS STATES ON ACCELS - S0 REPEAT FOR G BELOW
// F[3][13]=G[3][3]=-q0*q0-q1*q1+q2*q2+q3*q3; F[3][14]=G[3][4]=2*(-q1*q2+q0*q3); F[3][15]=G[3][5]=-2*(q1*q3+q0*q2);
// F[4][13]=G[4][3]=-2*(q1*q2+q0*q3); F[4][14]=G[4][4]=-q0*q0+q1*q1-q2*q2+q3*q3; F[4][15]=G[4][5]=2*(-q2*q3+q0*q1);
// F[5][13]=G[5][3]=2*(-q1*q3+q0*q2); F[5][14]=G[5][4]=-2*(q2*q3+q0*q1); F[5][15]=G[5][5]=-q0*q0+q1*q1+q2*q2-q3*q3;
// dqdot/dq
F[6][6]=0; F[6][7]=-wx/2; F[6][8]=-wy/2; F[6][9]=-wz/2;
F[7][6]=wx/2; F[7][7]=0; F[7][8]=wz/2; F[7][9]=-wy/2;
F[8][6]=wy/2; F[8][7]=-wz/2; F[8][8]=0; F[8][9]=wx/2;
F[9][6]=wz/2; F[9][7]=wy/2; F[9][8]=-wx/2; F[9][9]=0;
// dqdot/dwbias
F[6][10]=q1/2; F[6][11]=q2/2; F[6][12]=q3/2;
F[7][10]=-q0/2; F[7][11]=q3/2; F[7][12]=-q2/2;
F[8][10]=-q3/2; F[8][11]=-q0/2; F[8][12]=q1/2;
F[9][10]=q2/2; F[9][11]=-q1/2; F[9][12]=-q0/2;
// dVdot/dna - NO BIAS STATES ON ACCELS - S0 REPEAT FOR G HERE
G[3][3]=-q0*q0-q1*q1+q2*q2+q3*q3; G[3][4]=2*(-q1*q2+q0*q3); G[3][5]=-2*(q1*q3+q0*q2);
G[4][3]=-2*(q1*q2+q0*q3); G[4][4]=-q0*q0+q1*q1-q2*q2+q3*q3; G[4][5]=2*(-q2*q3+q0*q1);
G[5][3]=2*(-q1*q3+q0*q2); G[5][4]=-2*(q2*q3+q0*q1); G[5][5]=-q0*q0+q1*q1+q2*q2-q3*q3;
// dqdot/dnw
G[6][0]=q1/2; G[6][1]=q2/2; G[6][2]=q3/2;
G[7][0]=-q0/2; G[7][1]=q3/2; G[7][2]=-q2/2;
G[8][0]=-q3/2; G[8][1]=-q0/2; G[8][2]=q1/2;
G[9][0]=q2/2; G[9][1]=-q1/2; G[9][2]=-q0/2;
// dwbias = random walk noise
G[10][6]=G[11][7]=G[12][8]=1;
// dabias = random walk noise
// G[13][9]=G[14][10]=G[15][11]=1; // NO BIAS STATES ON ACCELS
}
void MeasurementEq(float X[NUMX], float Be[3], float Y[NUMV]){
float q0, q1, q2, q3;
q0=X[6]; q1=X[7]; q2=X[8]; q3=X[9];
// first six outputs are P and V
Y[0]=X[0]; Y[1]=X[1]; Y[2]=X[2]; Y[3]=X[3]; Y[4]=X[4]; Y[5]=X[5];
// Bb=Rbe*Be
Y[6]=(q0*q0+q1*q1-q2*q2-q3*q3)*Be[0] + 2*(q1*q2+q0*q3)*Be[1] + 2*(q1*q3-q0*q2)*Be[2];
Y[7]=2*(q1*q2-q0*q3)*Be[0] + (q0*q0-q1*q1+q2*q2-q3*q3)*Be[1] + 2*(q2*q3+q0*q1)*Be[2];
Y[8]=2*(q1*q3+q0*q2)*Be[0] + 2*(q2*q3-q0*q1)*Be[1] + (q0*q0-q1*q1-q2*q2+q3*q3)*Be[2];
// Alt = -Pz
Y[9] = -X[2];
}
void LinearizeH(float X[NUMX], float Be[3], float H[NUMV][NUMX]){
float q0, q1, q2, q3;
q0=X[6]; q1=X[7]; q2=X[8]; q3=X[9];
// dP/dP=I;
H[0][0]=H[1][1]=H[2][2]=1;
// dV/dV=I;
H[3][3]=H[4][4]=H[5][5]=1;
// dBb/dq
H[6][6]=2*(q0*Be[0]+q3*Be[1]-q2*Be[2]); H[6][7]=2*(q1*Be[0]+q2*Be[1]+q3*Be[2]); H[6][8]=2*(-q2*Be[0]+q1*Be[1]-q0*Be[2]); H[6][9]=2*(-q3*Be[0]+q0*Be[1]+q1*Be[2]);
H[7][6]=2*(-q3*Be[0]+q0*Be[1]+q1*Be[2]); H[7][7]=2*(q2*Be[0]-q1*Be[1]+q0*Be[2]); H[7][8]=2*(q1*Be[0]+q2*Be[1]+q3*Be[2]); H[7][9]=2*(-q0*Be[0]-q3*Be[1]+q2*Be[2]);
H[8][6]=2*(q2*Be[0]-q1*Be[1]+q0*Be[2]); H[8][7]=2*(q3*Be[0]-q0*Be[1]-q1*Be[2]); H[8][8]=2*(q0*Be[0]+q3*Be[1]-q2*Be[2]); H[8][9]=2*(q1*Be[0]+q2*Be[1]+q3*Be[2]);
// dAlt/dPz = -1
H[9][2]=-1;
}
/**
* @}
* @}
*/
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